FUNGSI KUADRAT

FUNGSI KUADRAT



Makalah

Disusun Guna Memenuhi Tugas Akhir Semester
Mata Kuliah : Telaah Kurikulum SMA
Dosen Pengampu : Pujiadi, M.Pd

















Oleh :

Mohamad Alwi ( 083511035 )





\
FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI WALISONGO
SEMARANG
2010
FUNGSI KUADRAT

Standar Kompetensi : 2. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.
KOMPETENSI DASAR INDIKATOR
2.1 Memahami konsep fungsi. 2.1.1 Membedakan relasi yang merupakan fungsi dan yang bukan fungsi.
2.1.2 Mengidentifikasi fungsi kuadrat.
2.2 Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadart. 2.2.1 Menggambar grafik fungsi kuadrat.
2.2.2 Menentukan definit positif dan definit negatif.
2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
2.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat. 2.5.1 Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel fungsi kuadrat.
2.5.2 Membuat model matematika dari suatu masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan fungsi kuadarat.
2.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya. 2.6.2 Menyelesaikan model matematika dari suatu masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan fungsi kuadarat.
2.6.2 Menafsirkan penyelesaian masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.


MATERI
A. FUNGSI ATAU PEMETAAN
Perhatikan gambar berikut :







Jika fungsi tersebut diberi nama f, maka fungsi tersebut ditulis dengan lambang ( dibaca : f memetakan A ke B ).
1. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil.
Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B ( ), maka :
• Himpunan A dinamakan daerah asal ( domain ) fungsi f.
• Himpunan B dinamakan daerah kawan ( kodomain ) fungsi f.
• Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan A dinamakan wilayah hasil ( range ) fungsi f.
Contoh soal :
1. Manakah diantara relasi-relasi berikut yang merupakan fungsi atau pemetaan?






Jawab :
Berdasarkan definisi di atas maka dapat diketahui bahwa yang merupakan fungsi atau pemetaan adalah relasi yang (i), karena anggota pada himpunan asal memasang tepat pada satu anggota himpunan kawan. Sedangkan pada relasi yang ke (ii) ada anggota pada himpunan asal memiliki pasangan lebih dari satu pada himpunan kawan yaitu anggota m.
2. Diketahui fungsi dengan daerah asal .
a. Carilah nilai fungsi f untuk .
b. Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius.
c. Tentukan wilayah hasil fungsi f.
Jawab :
a. Nilai fungsi f :
Untuk x = 1 adalah f(1) = 2(1) + 1 = 3.
Untuk x = 2 adalah f(2) = 2(2) + 1 = 5.
Untuk x = 3 adalah f(3) = 2(3) + 1 = 7.
b. Grafik fungsi f dinyatakan oleh persamaan y = 2x +1, yaitu suatu persamaan garis lurus. Beberapa anggota dari f adalah titik-titik dengan koordinat (1,3), (2,5), dan (3,7). Titik-titik itu digambar pada bidang Cartesius, kemudian dihubungkan dengan ruas garis lurus.













c. Berdasarkan grafik fungsi f, maka jelas bahwa wilayah hasilnya adalah {y | 3 }


B. FUNGSI KUADRAT
Definisi :



Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = dan grafik kuadrat disebut sebagai parabola.

C. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT
Langkah – langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat :
1. Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik – titik yang terletak pada grafik fungsi f. Titik – titik ini dapat ditentukan dengan memilih beberapa nilai x bilangan bulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian dihitung nilai fungsi f. Titik – titik pada fungsi f itu biasanya lebih mudah disajikan dengan menggunakan daftar atau tabel.
2. Gambarkan koordinat titik – titik yang telah diperoleh pada langkah 1 pada sebuah bidang koordinat atau bidang cartesius.
3. Hubungkan titik – titik yang telah digambarkan pada bidang koordinat pada langkah 2 menggunakan kurva yang mulus.

Contoh soal :
1. Gambarlah grafik kuadrat yang ditentukan dengan persamaan , jika daerah asalnya adalah .
Jawab :
Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah parabola dengan persamaan .
Langkah 1 :
Kita buat daftar untuk menentukan titik – titik yang terletak pada fungsi f.
X -2 -1 0 1 2 3 4
Y 8 3 0 -1 0 3 8
(x,y) (-2,8) (-1,3) (0,0) (1,-1) (2,0) (3,3) (4,8)

Langkah 2 :
Gambarlah titik – titik (-2,8), (-1,3), (0,0), (1,-1), (2,0), (3,3) dan (4,8) pada bidang Cartesius.

Langkah 3 :
Hubungkan titik – titik pada langkah 2 tersebut dengan kurva yang mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat . Grafik fungsi kuadrat ini berbentuk parabola.












Berdasarkan grafik fungsi kuadrat tersebut, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :
a. Daerah Asal.
Daerah asal fungsi f adalah .
b. Wilayah Hasil.
Daerah hasil fungsi f adalah }.
c. Pembuat Nol Fungsi.
Untuk nilai x = 0 didapat f(0) = 0 dan untuk x = 2 didapat f(2) = 0. Dalam hal demikian x = 0 dan x = 2 dinamakan pembuat nol fungsi f, dan pembuat nol itu merupakan akar – akar persamaan f(x) = 0.


d. Persamaan Sumbu Simetri.
Parabola dengan persamaan mempunyai sumbu simetri (sumbu setangkup) yang persamaannya x = 1.
e. Koordinat Titik Puncak atau Titik Balik.
Jika nilai x bertambah di dalam daerah asalnya dari -2 sampai dengan 4, maka nilai fungsi berkurang dari 8 menjadi -1 dan sesudah itu nilai fungsi bertambah dari -1 menjadi 8. Jadi, fungsi mengalami perubahan nilai dari turun menjadi naik. Tempat perubahan dari turun menjadi naik itu terjadi pada titik P (1,-1). Dalam hal demikian, titik P (1,-1) dinamakan titik balik atau titik puncak parabola. Pada titik P (1,-1), ordinat y = -1 merupakan nilai terkecil pada kurva, sehingga titik P (1,-1) diberi nama titik balik minimum.
f. Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi.
Untuk x = 1 diperoleh f(1) = -1 ini disebut nilai minimum fungsi f, sebab nilai itu adalah nilai fungsi f yang terkecil.


Ketentuan – ketentuan dalam grafik fungsi kuadrat :
a. Parabola , dengan dan , mempunyai titik puncak atau titik balik .
b. Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas. Sedangkan jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabolanya terbuka ke bawah.
c. Persamaan sumbu simetri parabola adalah .



1. Membuat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah – langkah :
a. Menentukan titik potong dengan sumbu y ( garis x = 0 ).
b. Menentukan titik potong dengan sumbu x ( garis y = 0 ).
c. Menentukan persamaan sumbu simetri dan nilai ekstrim fungsi.
d. Menentukan titik pada parabola.
• Sumbu simetri parabola
• Nilai ekstrim ( nilai puncak )
• Titik puncak parabola
e. Hubungkan titik – titik di atas sehingga terjadi kurva parabola.

2. Tanda – tanda Grafik Fungsi Kuadrat
a. Kaitan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat
Pada hakekatnya, titik potong grafik fungsi kuadrat dapat diperoleh dengan cara menentukan nilai – nilai x yang mengakibatkan nilai y = 0. Ini berarti proses menentukan akar – akar persamaan kuadrat . Dengan demikian, tingkah laku dan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x dapat dipelajari dengan mengkaji dan memeriksa sifat – sifat dari persamaan kuadratnya. Sifat inilah yang menunjukkan kaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
b. Kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu x.
Kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu x secara keseluruhan ada enam kemungkinan. Keenam kemungkinan kedudukan itu ditentukan oleh tanda – tanda dari a dan tanda – tanda dari diskriminan . Keenam kemungkinan tersebut adalah :
1. Jika a > 0 dan D > 0.
Maka parabola terbuka ke atas dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
2. Jika a > 0 dan D = 0.
Maka parabola terbuka ke atas dan menyinggung sumbu x. Dikatakan parabola di atas dan pada sumbu x untuk setiap x . Secara aljabar dapat dikatakan :
Bentuk untuk setiap , atau bentuk tidak pernah negatif untuk setiap .
3. Jika a > 0 dan D < 0.
Maka parabola terbuka ke atas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. Dikatakan parabola selalu berada di atas sumbu x untuk setiap . Secara aljabar dapat dikatakan :
Bentuk untuk setiap , atau bentuk disebut definit positif.
4. Jika a > 0 dan D > 0.
Maka parabola terbuka ke bawah dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
5. Jika a < 0 dan D = 0.
Maka parabolanya terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu x. Dikatakan parabola di bawah dan pada sumbu x untuk setiap x R.
6. Jika a < 0 dan D < 0.
Maka parabolanya terbuka ke bawah dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. Dikatakan parabola selalu berada di bawah sumbu x untuk setiap x R. (definit negatif).

D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI KUADRAT
Contoh soal :
1. Seutas kawat mempunyai panjang 40 cm. Kawat itu berbentuk menjadi persegi panjang dengan panjang x cm dan lebar y cm. Luas persegi panjang dinyatakan dengan L (cm2).
a. Nyatakan L sebagai fungsi x.
b. Carilah luas persegi panjang yang terbesar.
Jawab :
a. Panjang kawat = keliling persegi panjang = 40.



Luas persegi panjang


Jadi, L sebagai fungsi x adalah .
b. merupakan fungsi kuadrat dalam x dengan a = -1, b = 20, dan c = 0.


Jadi, luas persegi panjang yang terbesar adalah L = 100 cm2.


LATIHAN SOAL
I. Silanglah (x) huruf a, b, c, d, atau e di depan jawaban yang tepat.
1. Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1,-4) dan melalui titik (2,-3),persamaannya adalah ………
a. d.
b. e.
c.
2. Diketahui suatu fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (-4,0) dan (3,0) serta memotong sumbu y di titik (0,-12), mempunyai persamaan ……..
a. d.
b. e.
c.
3. Diketahui fungsi kuadrat dengan daerah asal }. Daerah hasil fungsi f adalah ……..
a. d.
b. e.
c.
4. Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 untuk x = 2, sedangkan untuk x = -2 fungsi berharga -11, maka fungsi tersebut adalah ………
a. d.
b. e. -
c.
5. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h ( dalam meter ) sebagai fungsi waktu t ( dalam detik ) dirumuskan dengan . Carilah tinggi maksimum yang dapat dicapai dan waktu yang diperlukan ………..
a. h = 80 dan t = 4 d. h = 30 dan t = 6
b. h = 50 dan t = 4 e. h = 40 dan t = 5
c. h = 80 dan t = 5
II. Kerjakan soal – soal du bawah ini secara singkat dan tepat !
1. Diketahui A = { x -4 x 4, x } dan f : A ditentukan oleh f(x) = x2 – 9. Gambarlah grafik f dan tentukan daerah hasil fungsi !
2. Diketahui A = { x -3 x 3, x } dan f : A ditentukan oleh f(x) = x (x+2)(x-3).
a. Carilah pembuat nol dari f .
b. Hitunglah f (1), f(-1), f(3), f(-3).
c. Gambarlah grafik f dan tentukan daerah hasil f.
d. Selesaikan pertidaksamaan f(x) > 0.
3. mempunyai nilai minimum 4 untuk x = -2, hitung nilai a dan b !
4. Tinggi h meter suatu roket setelah t detik adalah . Tentukan tinggi maksimum roket tersebut !
5. Suatu persegi panjang luasnya 900 m2. Tentukan ukuran persegi panjang tersebut supaya kelilingnya minimum !


DAFTAR PUSTAKA
Wirodikromo, Sartono. 2002. Matematika Untuk SMA Jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Arifin, S. Teguh dkk. 1999. Rumus – rumus Matematika Lengkap. Surabaya : Apollo.