Rabu, 06 April 2011

BAB I KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG

BAB I
KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG

Alat Peraga yang Disarankan :
1. Benda-benda di sekitar kita, yang berupa benda ruang.
2. Bangun ruang berupa kerangka kubus, balok, limas, dan sebagainya.
3. Model bangun ruang dari karton berupa kubus, balok, limas, dan sebagainya.
4. Buku-buku tipis sebagai model bidang dan pensil-pensil sebagai model garis.

A. Pengantar
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai benda-benda ruang seperti berikut ini.

Benda-benda konkret seperti tersebut di atas, merupakan model dari bangun abstrak geometri seperti berikut ini.

Di kalangan para siswa, ternyata mengabstraksikan benda ruang yang konkret menjadi sebuah bangun ruang yang abstrak memiliki tingkat kesukaran yang tinggi. Proses ini sangat memerlukan daya abstraksi yang tinggi dan nalar yang memadai dari para siswa, bahkan dari guru itu sendiri. Karena itu sangat disarankan agar guru benar-benar memanfaatkan penggunaan alat peraga.
Dalam geometri terdapat beberapa pengertian pangkal yang harus sudah dipahami. Pengertian pangkal tersebut antara lain pengertian tentang titik, garis, dan bidang. Garis yang dimaksud di sini adalah garis lurus, dan bidang yang dimaksud di sini adalah bidang datar.

B. Kedudukan Titik-titik di Dalam Ruang
1. Empat buah titik yang berbeda biasanya tidak terletak dalam satu bidang. Kapankah empat buah titik terletak dalam satu bidang? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .








Perhatikan gambar (1)
Titik-titik P, Q dan R terletak pada bidang ; sedangkan titik S tidak terletak pada bidang .
Pada gambar (2), P, Q dan R terletak pada bidang . . .( ). . . sedangkan titik S tidak terletak pada bidang . ( ). . . .
Titik P, S dan R terletak pada bidang . . .( ) . . . . ., tetapi titik . . (S). . . . tidak terletak pada bidang .
2. Tiga buah titik yang berbeda, biasanya tidak terletak pada satu garis.
Kapankah tiga buah titik terletak dalam satu garis? . . .(jika terletak sejajar) . . . . ...............................................................




Titik P dan Q terletak pada garis a. Titik R di luar garis a.

C. Kedudukan Dua Buah Garis






1. Pada gb. 4, garis a dan b sejajar, a dan b sebidang, dan tak ada titik persekutuan antara a dan b.
2. Pada gb. 5, garis a dan b berpotongan, a dan b sebidang, antara garis a dan b memiliki satu titik persekutuan.
3. Pada gb. 6, garis a dan b bersilangan, a dan b tidak sebidang, garis a dan b tidak memiliki titik persekutuan.
Contoh :
ABCD. EFGH suatu kubus.
Isilah dengan sejajar, berpotongan, atau bersilangan.
(1) AE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GC
(2) AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
(3) BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DH
(4) ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BG
(5) DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CF
Gb. (7) (6) BH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BF
(7) HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DB
(8) AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HG
(9) CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
(10) EG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
Perhatikan aksioma dan teorema berikut ini.
Aksioma 1
Melalui dua buah titik hanya dapat dilukis sebuah garis saja.


Aksioma 2
Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai 2 titik persekutuan, maka garis tersebut terletak seluruhnya pada bidang tersebut.
Aksioma 3
Tiga buah titik yang tidak segaris selalu dapat dilalui oleh sebuah bidang.

Teorema 1
Sebuah bidang ditentukan oleh 3 titik yang tidak segaris.
Teorema 2
Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.
Teorema 3
Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis yang berpotongan.
Teorema 4
Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis yang sejajar.

D. Kedudukan Dua Buah Bidang








Gb. (8) Gb. (9)

1. Lihat gb. 8. 2. Lihat gb. 9.
Sejajar Berpotongan
Tak ada garis persekutuan Ada satu garis persekutuan
antara bidang-bidang  dan  antara bidang-bidang  dan 


Contoh :
1) Diketahui kubus ABCD. EFGH.
Isilah dengan kata sejajar atau berpotongan.
(1) Bidang ABCD . . . . bidang DCFE
(2) Bidang EFGH . . . . bidang ABCD
(3) Bidang ACGE . . . . bidang BDHF
(4) Bidang ADHE . . . . bidang BCGF
(5) Bidang AFH . . . . bidang FGH
(6) Bidang AEH . . . . bidang BFG
Gb. (10)
2) Sebuah garis dapat diperpanjang, begitu juga sebuah bidang juga dapat di .......................
3) Untuk melukis garis persekutuan (garis potong) antara dua buah bidang, diperlukan dua buah titik persekutuan. Garis hubung antara dua titik persekutuan tersebut, merupakan garis potong yang dicari.







Gb. (11) Gb. (12) Gb. (13)


a) Gambar 11 : Garis potong antara bidang BCHE dan ADGF adalah . . . . .
b) Gambar 12 : Garis potong antara bidang BDE dan AFH adalah . . . . .
c) Gambar 13 : Garis potong antara bidang BDE dan CDEF adalah . . . . .


4) TPQRS suatu limas sisi empat.
A adalah suatu titik persekutuan antara bidang ARS dan bidang TPS.
(a) Jika bidang ARS diperluas, tentukan titik persekutuannya dengan TQ.
(b) Tentukan garis potong antara bidang ARS dan TPQ
(c) Tentukan garis potong antara bidang ARS dan TQR

Gb. (14)
Jawab :
(a) Titik persekutuannya adalah . . . .
(b) Garis potong antara bidang ARS dan TPQ adalah . . . .
(c) Garis potong antara bidang ARS dan TQR adalah . . . .

Catatan : RS, SA dan kedua garis potong pada soal (b) dan (c) membentuk penampang (irisan) bidang ARS dengan limas yaitu bidang ........

E. Kedudukan Garis terhadap Bidang.






Gb. (15) Gb. (16) Gb. (17)
1. Garis a sejajar bidang  jika garis a dan bidang  tidak mempu-nyai titik persekutuan (Gb. 15) 2. Garis a memotong bidang  jika garis a dan bidang  hanya mempunyai satu titik persekutuan (Gb. 16) 3. Garis a terletak pada bidang  (atau bidang  melalui garis a) jika garis a dan bidang  mempu-nyai titik persekutuan lebih dari sebuah
Contoh :
ABCD. EFGH suatu kubus.
Isilah dengan sejajar, terletak atau memotong, sehingga kalimat di bawah ini benar.
(1) Garis EG ............. bidang ABCD
(2) Garis BG ............. bidang ADHE
(3) Garis HF ............. bidang BDG
(4) Garis AE ............. bidang CDFE
(5) Garis AC ............. bidang ADHE
(6) Garis BG ............. bidang ABGH
(7) Garis EG ............. bidang BDHF
(8) Garis BE ............. bidang CDHG
(9) Garis CF ............. bidang EFGH
(10) Garis DF ............. bidang ACGE

Latihan:
1. Diketahui titik A dan B pada bidang V. Titik C pada bidang W.

Lukiskan bidang H yang melalui titik A, B, dan C.

2. Diketahui garis a pada bidang V. Titik P pada bidang W.

Lukiskan bidang  yang melalui garis a dan titik P.


3. Diketahui titik T pada bidang V, garis a menembus bidang-bidang H dan V.

Lukiskan bidang  yang melalui garis a dan titik T.


4. Garis-garis a dan b berpotongan, a menembus bidang-bidang H dan V, b menembus bidang V.

Lukiskan bidang  melalui a dan b.


5. Garis a menembus bidang-bidang H dan V, garis b menembus bidang-bidang H dan V.

Tunjukkan bahwa garis a dan b bersilangan.

6. Titik T pada bidang V, garis a pada bidang H.

Lukiskan bidang  melalui garis a dan titik T.

7. Garis a pada bidang H, garis b pada bidang V, garis c memotong b dan menembus bidang H di titik A.

Lukiskan garis x yang sejajar dengan c dan memotong a dan b.
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
P titik potong diagonal BG dan CF.

Ditanya :
a. Lukis garis x yang sejajar garis HP dan memotong garis DE dan BG.
b. Lukis garis y yang melalui titik P dan sejajar AG. Tentukan titik tembusnya dengan bidang ABFE.


9. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
P pertengahan AB
Q pertengahan CG
Ditanyakan :
a. Lukiskan garis-garis potong bidang ABQ dengan bidang-bidang sisi kubus.
b. Lukis garis x yang melalui B dan memotong garis-garis PQ dan DH.

10. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
P pertengahan AE
Ditanyakan :
a. Tentukan titik potong garis x yang melalui P dan sejajar AG dengan bidang EFGH.
b. Tentukan titik potong garis PG dengan bidang-bidang BDHF dan BDE



BAB II
MELUKIS TITIK TEMBUS GARIS DENGAN BIDANG


Langkah melukis titik tembus garis dengan bidang








gb (19) gb (20) gb (21)
Ditentukan garis a dan bidang  (gambar 19)
Bagaimana cara melukis titik potong garis a dan bidang .
Jawab :
Perhatikan gambar 20 dan gambar 21.
(1) Buat bidang bantu  yang melalui a.
(2) Tentukan garis potong antara bidang bantu  dengan bidang  yaitu (,). Ingatlah, perlu dua titik persekutuan.
(3) Perpotongan a dengan (,) ialah titik tembus a dengan bidang  (misalnya titik P).
Contoh :








Gb. (22) Gb. (23) Gb. (24)

Lihat gambar 22.
Tentukan titik potong EC dengan bidang BDHF, dengan bidang bantu ACGE. Dapatkah dipilih bidang bantu yang lain? . . . . .

Lihat gambar 23.
Tentukan titik potong garis AG dengan bidang BDE.
Pilih bidang bantu sendiri.
(Bidang bantu tersebut adalah . . . . . . . . . .)

Lihat gambar 24.
Tentukan titik potong PQ dengan bidang ACF.

Latihan
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.
a. Lukiskan titik tembus garis yang melalui C tegak lurus ke bidang BDG.
b. Hitung jarak titik C ke bidang BDG.
2. Diketahui limas tegak T. ABCD dengan bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 4 cm, BC = 3 cm, dan TA = TB = TC = TD = 6,5 cm.
a. Tentukan titik tembus O, jika TO merupakan jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD.
b. Hitung panjang AC.
c. Hitung panjang TO.

Catatan :
Jarak adalah garis hubung terpendek. Konsep tentang jarak atau kita pelajari lebih mendalam dalam BAB IV.


BAB III
SUDUT

A. Sudut antara Dua Garis
Sudut antara dua garis bersilangan a dan b sama dengan sudut antara a’ dan b yang berpotongan dengan ketentuan a’//a.
Atau :
Sudut antara dua garis bersilangan a dan b sama dengan sudut antara a’ dan b’ yang berpotongan dengan ketentuan a’//a dan b’//b.
Gambarnya sebagai berikut.


Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH.
Tentukan besar sudut antara garis-garis di bawah ini dengan jalan memindahkan salah satu garis itu sejajar dengan dirinya sendiri sehingga memotong garis yang lain.


Gb. (26)

(1) AD dan CG sama dengan AD dan DH, dan besarnya 90o
(2) CD dan EG sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(3) BF dan DE sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(4) BG dan AC sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(5) BC dan AG sama dengan ....... dan ........, yaitu ..........
(6) BG dan DE sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(7) BE dan AH sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(8) BE dan AC sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(9) ED dan AG sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(10) AC dan DE sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........

Catatan : Selanjutnya yang dimaksudkan dua garis tegak lurus, mungkin memotong tegak lurus atau menyilang tegak lurus.

B. Sudut antara Garis dan Bidang
Sudut antara sebuah garis dan sebuah bidang ialah sudut antara garis itu dengan proyeksinya pada bidang itu.
a1 = proyeksi a pada bidang .
Sudut antara a dan bidang  adalah sudut antara a dan a1




Contoh :






Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm.
1) Sudut antara AH dan bidang alas ABCD sama dengan sudut antara AH dan .......... = .........o
2) Bila  = sudut antara DF dan bidang alas ABCD.
Sudut antara DF dan bidang alas ABCD sama dengan sudut antara DF dan ........
tg  =
3) Bila  = sudut antara DE dan bidang ABCD. Sudut antara DE dan bidang alas ABCD sama dengan sudut antara DE dan .........
tg  = Jadi  = ..... = ..... .

C. Sudut antara Dua Buah Bidang
Sudut antara dua buah bidang  dan , ialah sudut antara dua garis a dan b, a pada bidang ........, b pada bidang ........ dan masing-masing tegak lurus garis potong (,) di satu titik.

a pada bidang ....... dan a  (,) di P.
b pada bidang ....... dan b  (,) di P.
Sudut antara  dan  (misalnya ) adalah sudut antara a dan b.


Contoh :
(i) Tunjukkan sudut antara :
1) bidang CDFE dab ABCD,
2) bidang BDE dan bidang ABCD,
3) bidang BDHF dan bidang ACGE.
Jawab :
1) Sudut antara bidang CDFE dan ABCD sama dengan sudut antara garis ....... dan ....... =  .........

(ii) 2) Sudut antara bidang BDE dan ABCD sama dengan sudut antara garis ....... dan ....... =  .........




(iii) 3) Sudut antara bidang BDHF dan ACGE sama dengan sudut antara garis ....... dan ....... =  .........




Gb. (30)

BAB IV
GARIS TEGAK LURUS BIDANG DAN JARAK

A. Garis Tegak Lurus Bidang
Sebuah garis yang tegak lurus pada dua garis yang berpotongan yang terletak pada suatu bidang, akan tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang itu.
Selanjutnya, garis itu disebut tegak lurus pada bidang itu.
Misalnya :



Gambar beberapa kemungkinan letak k, a dan b.







K memotong tegal lurus a dan b. K memotong tegak lurus a dan k menyilang tegak lurus b. K menyilang tegak lurus a dan b

Contoh :
Ditentukan ABCD.EFGH suatu kubus.
Tunjukkan bahwa AG  BD.
..... dan ..... berpotongan dan terletak pada bidang ..............
 BD  bidang ............
Jadi BD tegak lurus dengan setiap garis yang terletak pada bidang ............
AG terletak pada bidang ............
 AG  BD

B. Jarak
1. Jarak antara dua titik
Jarak antara dua titik ialah panjang garis lurus antara dua titik itu.

2. Jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan garis ialah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis itu.

PP1  a
PP1 = jarak P ke garis a
Gb. (33)

3. Jarak antara dua garis sejajar
Jarak antara dua garis sejajar ialah jarak antara sebuah titik di garis yang satu ke garis yang lain.
a / / b

P di a; PP1  b
PP1 = jarak antara a dan b

4. Jarak antara titik dan sebuah bidang
Jarak antara titik dan sebuah bidang adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang itu.
PP1  bidang H
PP1= jarak P ke bidang H



Gb. (35)

5. Jarak antara garis dan bidang (garis itu sejajar bidang)
Jarak antara garis dan bidang ialah jarak antara suatu titik di garis itu ke bidang itu.
garis a / / bidang H
P pada garis a
PP1  bidang H
PP1 = jarak a ke bidang H

Gb. (36)

6. Jarak antara dua bidang sejajar
Jarak antara dua bidang sejajar ialah jarak antara titik pada bidang yang satu ke bidang yang lain.
Bidang U sejajar bidang V

P pada U, PP1  bidang V
PP1 = jarak antara bidang U dan V



Gb. (37)

7. Jarak antara dua garis bersilang
Jarak antara dua garis a dan b yang bersilang ialah jarak antara garis a dengan bidang H yang melalui b dan sejajar a.
H melalui b dan H sejajar a.
Jarak a ke b = jarak a ke bidang H



Gb. (38)
Catatan :
Jika PQ  a dan PQ  b, maka PQ disebut garis tegak lurus persekutuan antara a dan b.
= jarak antara a dan b yang bersilangan.
Gb (39)
Contoh :
Penerapan
1) Jika panjang rusuk-rusuk ABCD.EFGH sama dengan a, tentukan
a) panjang diagonal sisi AC
b) panjang diagonal ruang EC
c) Jarak E ke garis BG
Jawab :
a) Panjang diagonal sisi AC =

b) Perhatikan  ACE yang siku-siku di A
EC2 = AC2 + AE2 = ...... 2 + ...... 2
EC = ............
c) Jika kita perhatikan  EBG maka sehitiga itu sama .......... sehingga garis tinggi dari E sama dengan garis berat. Jadi jarak E ke BG sama dengan jarak E ke titik ............. BG.
Jika P pertengahan BG, maka segitiga EPG siku-siku di ..........
EP2 = ...... 2 - ...... 2 = ...... 2 - ...... 2
EP = ................ = ................ , Jadi jarak E ke garis BG = ...........
2) ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk-rusuk a.
Tentukan jarak P ke bidang BDHF.
Jawab :
Garis dari P  bidang BDHF akan sejajar dengan garis dari E ke ...... atau dari A ke ...........
Tentukan titik potong garis P / / EG dengan bidang BDHF (dengan bidang bantu ACGE).
Jarak P ke bidang BDHF = ½ EG = ....
BAB V
PENAMPANG IRISAN

A. Pengertian
1. Irisan antara bidang dan bangun ruang adalah suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan bidang-bidang sisi dari bangun ruang, sehingga irisan itu membagi bangun ruang menjadi dua bagian.
2. Sumbu afinitas (garis dasar atau garis koliniasi) adalah garis potong antara bidang irisan dengan bidang alas bangun ruang yang diirisnya. Sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan bidang alas.

Contoh :
1. Misal kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4 cm. Titik K pada AE sehingga AK = KE, titik L pada BF sehingga BL = ¼ BF. Lukiskan irisan antara kubus dengan bidang yang melalui titik-titik H, K, dan L.



Langkahnya :
- Lukis sumbu afinitas ......., dengan P adalah titik potong antara garis HK dan ........, titik Q adalah titik potong antara garis KL dan garis ........
- Garis potong bidang yang melalui titik-titik H, K, dan L dengan bidang-bidang sisi kubus adalah ........, ........, ........, .........
- Jadi, irisan antara kubus dengan bidang yang melalui titik-titik H, K, dan L adalah bidang HKLM.
2. Pada limas T.ABCD, titik-titik K, L, dan M terletak pada bidang-bidang TDA, TAB, dan TBC. Bidang  melalui titik-titik K, L, dan M. Gambarlah irisan limas T.ABCD dengan bidang .


Keterangan gambar :
........................................................................................................................................................................................................................................................................................

Latihan
1. Pada prisma ABCD.EFGH titik-titik K dan L terletak pada bidang-bidang sisi tegak ABFE dan BCGF, titik M terletak pada bidang atas EFGH. Bidang  melalui titik-titik K, L, dan M. Gambarlah irisan prisma itu dengan bidang .



2. Gambarlah irisan limas T.ABCD dengan bidang  jika bidang  melalui titik-titik K, L, dan M.
3. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Titik-titik K, L, dan M berturut-turut adalah titik pusat bidang-bidang sisi ABFE, BCGF, dan EFGH. Bidang  melalui titik-titik K, L, dan M.
a. Lukiskan irisan kubus ABCD.EFGH dengan bidang .
b. Sebut nama bangun irisan itu, dan hitunglah luasnya.

BAB VI
LUAS DAN VOLUM BANGUN RUANG

Luas dan Volum/Isi Bangun Ruang

Luas = luas alas + luas atas + jumlah luas sisi-sisi tegak
Volum = tinggi x luas alas






Luas = luas alas + jumlah luas sisi-sisi tegak
Volum = 1/3 tinggi x luas alas



Luas tabung = luas alas + luas atas + luas bidang lengkung tabung
= .......... + ........... + ...........
= .................
Isi = tinggi x luas alas
= .......... + ..........


Luas kerucut
= luas bidang lengkung kerucut + luas alas
= .......... + ..........

Volum Kerucut
= 1/3 x tinggi x luas alas
= 1/3 x ......... x ...........


Catatan :
Bidang lengkung kerucut berupa juring lingkaran, jika  = sudut pusat juring.
di mana r = jari-jari lingkaran alas kerucut
A = apothema (garis pelukis)












Sedangkan:
Volum kerucut terpancung =




Luas = luas alas + luas atas + jumlah luas sisi-sisinya
Volum limas terpancung
=




Perhatikan : rumus ini hanya berlaku pada limas segitiga





Luas = luas alas + luas atas + jumlah luas sisi-sisinya.
Volum = luas alas x 1/3 (jumlah rusuk tegak)




Luas bola = 4  R2
Isi bola =

Bola

Contoh :
Penerapan :

1) ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk 4 cm. P dan Q masing-masing tengah-tengah FG dan HG.
Tentukan volum limas terpancung BCD.PGQ.




Jawab :
Isi/volum limas terpancung = 1/3 tinggi x (luas alas + luas atas +
Tinggi = CG = .......... cm
Luas alas = Luas  BCD = ............ cm2
Luas atas = Luas  PGQ = ............ cm2
Jadi isi BCD.PGQ =
= ....... (..........) cm3
= ........... cm3
2) ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk 8 cm. CQ = 6 cm. Bidang APQR//BD. Tentukan isi benda ABCD.PQR.
Jawab : Isi benda ABCD.PQR
Terdiri dari dua prisma sisi 3 tegak terpancung yaitu ABD.PR dan BCD.PQR.

Isi prisma sisi tiga tegak terpancung = luas alas x 1/3 (jumlah rusuk tegak)
Isi ABD.PR = L  ABD x 1/3 (0 + BP + DR)
= ............ x 1/3 (0 + ...... + .......) cm3 = ....... cm3
Isi BCD.PQR = L  BCD x 1/3 (BP + CQ + DR)
= ............ x 1/3 (...... + ...... + .......) cm3 = ....... cm3
 Isi ABCD.PQR = ...... cm3 + ........ cm3 = ......... cm3

BAB VII
SOAL-SOAL PENGEMBANGAN
A. Irisan
1. Diketahui limas segienam T.ABCDEF. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk TA, bidang TAB, dan rusuk TE seperti terlihat pada gambar di bawah ini.

Lukislah irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan limas segienam T.ABCDEF.


Penyelesaian:

W perpotongan EF dan BA. Hubungkan TW.
Buat garis PQ, yang memotong TW di Z, memotong TB di ….. , dan memotong perpanjangan WB di ……
WE dan ZR berpotongan di …..
Sumbu afinitasnya adalah garis …..
Perpanjang garis BC dan ED yang memotong sumbu afinitas di ….. dan di …..
Jika telah diperoleh titik L dan M seperti tampak pada gambar di atas, maka bidang yang dimaksudkan adalah
bidang ……….

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada pertengahan rusuk EH. Titik Q terletak pada pertengahan bidang ABFE dan titik R terletak pada rusuk BF, sehingga BR : BF = 1 : 4. Tentukan irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan kubus tersebut.
B. Garis Tegak Lurus Bidang
1. Dalam kubus ABCD.EFGH dengan AB = 8 cm, titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak pada pertengahan BC, CG, DH, dan AD. Tentukan jarak antara bidang ABGH dan PQRS.

Penyelesaian

BP = ….. BC = ….. x 8 = ….. cm.
sin PBP’ = sin 45 = PP’ = …..cm.
Jadi jarak antara ABGH dan PQRS adalah ….. cm.

2. Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 48 cm. Tentukan jarak titik E ke bidang BDG.

C. Sudut antara Garis dengan Bidang
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Titik M perte-ngahan bidang ABCD. Tentukan:
a. Tangen dari sudut antara garis EC dan bidang ABCD.
b. Tangen dari sudut antara garis FM dan bidang ABCD.

Penyelesaian
a. = sudut antara garis ….. dan bidang …..
AC = ….. cm
Dalam ECA, tan =


b. = sudut antara garis ….. dan bidang …….
BD = AC = ….. ...cm dan BM = ….. ...cm.
Dalam FBM, tan =
Gambar:



2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 12 cm. Titik M terletak pada perpotongan diagonal bidang alas. Tentukan nilai tangen dari sudut antara garis MH dan bidang ADHE serta garis BH dan bidang ADHE.

D. Volume
1. The diagonals EG and HF of the cube ABCD.EFGH meet at the point T. Find ratio in volume of the pyramid T. ABCD to the cube.

TM = a = altitude of pyramid T.ABCD.
Volume of pyramid T.ABCD : volume of cube =
= …. : ….
2. If is volume of the largest cone inscribed a cylinder of volume , then find the value of : .

: =
= …. : ….




3. In the cube ABCD.EFGH, find the ratio in volume of pyramid E.ABCD to the volume of cube.

4. In the cube ABCD.EFGH of edge 1 cm, the edge DH is extended to be DN, where HN = cm. The line BN intersect the plane EFGH at the point M. Find the length of NM.



---000---

Daftar Pustaka

Amin Suyitno. 2001. Meningkatkan Kemampuan Mahasiswa untuk Belajar Mandiri Melalui Model Pembelajaran Problem Posing dalam Mata Kuliah Geometri. Laporan Penelitian Tindakan Kelas. Semarang: PGSM – UNNES.

Husein Tampomas. 1999. Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Joesoef. 1982. Geometri Ruang. Surabaya: IPIEMS.

Kadaruslan. 1990. Geometri Ruang. Semarang: FMIPA IKIP Semarang.

Oetjoep Ilman, dkk. 1967. Ilmu Ukur Ruang. Jakarta: Widjaja.


BAB VIII
BUMI SEBAGAI BOLA

A. Bumi sebagai Bola, Garis Lintang dan Garis Bujur
Bumi kita mirip sekali dengan sebuah bola. Untuk membuat model matematika dari bumi kita, kita mengambil garis tengah US melalui kutub Utara dan kutub Selatan sebagai sumbu pusatnya. Jika O titik tengah US, dan OP tegak lurus US, maka tempat kedudukan P adalah khatulistiwa.

Irisan lingkaran yang tegak lurus pada US disebut Garis Lintang atau lingkaran paralel.
Lingkaran paralel (garis lintang) yang pusatnya berimpit dengan pusat bumi disebut khatulistiwa yang mempunyai besar sudut lintang 0.
Sedangkan besar sudut lintang yang paling besar adalah 90 Utara dan 90 selatan dari khatulistiwa.

Pada gambar terlihat bahwa titik P terletak pada khatulistiwa. Titik A mempunyai garis lintang ....... Utara (..... lintang Utara) dan titik B mempunyai garis lintang ..... Selatan (..... lintang Selatan)
Irisan lingkaran yang bergaris tengah US disebut garis bujur atau meridian. Meridian yang melalui kota Greenwich disebut meridian Greenwich yang mempunyai besar sudut 0.
Kota Greenwich kira-kira terletak 51 lintang Utara.
Besar sudut bujur paling besar 180 ke arah Timur atau 180 ke arah Barat Greenwich.

Pada gambar jika G adalah Greenwich dan  POD = 48;  POA = 30.
Maka : Titik C terletak pada ..... lintang Utara dan ...... bujur ......
Titik D terletak pada ..... lintang Utara dan ...... bujur ......
Titik A terletak pada khatulistiwa dan ...... bujur ......

Letak diametral
Jika kota A dan B merupakan titik-titik ujung dari garis tengah bumi, maka letak A dan B disebut diametral.
Penduduk A dan B disebut penduduk yang bertentangan kaki.
Jadi jika A suatu tempat di 35 LS dan 40 BB, maka B adalah suatu tempat di .......... dan ...........

Jari-jari lingkaran paralel dan jarak sepanjang lingkaran paralel
Jika titik A terletak pada posisi garis lintang 60 dan garis bujur 12 T, sedangkan posisi titik B adalah garis lintang 60 U dan garis bujur 18 B. P adalah pusat lingkaran paralel yang melalui titik A dan B, jari-jari bumi R = 6400 km.
Tentukan :
a) besar  APB
b) jari-jari lingkaran paralel yang melalui A dan B (= AP)
c) panjang busur AB
d) jika pesawat udara terbang sepanjang setengah lingkaran paralel pada garis lintang 60 U, hitunglah jarak terbang pesawat tadi (panjang busur ABT).
e) Jika pesawat itu juga terbang dari A ke T lewat Kutub Utara, hitunglah jarak terbang pesawat tadi (panjang busur AUT)
f) Mana yang lebih pendek, terbang pada busur ABT atau terbang pada busur AUT.


Jawab :
a) Karena posisi A pada garis bujur ...... dan posisi titik B pada garis bujur ..... maka busur AB = ........
Jadi  APB = ......
b) Lingkaran meridian UAQS kita gambarkan sebagai berikut.
Lihat  OAP
OA = R = 6400 km
cos 60 =








c) panjang busur AB = Keliling lingkaran meridian
= ....... 2  .......
= ...................... km
d) panjang busur AB = Keliling lingkaran paralel ABT
= 2  ..........
= ...................... km
e)  AOT = 2 .  AOP = 2 . ...... = ......
panjang busur AUT = Keliling lingkaran paralel ABT
= ....... . 2  . 6400 km
= ...................... km

f) Jadi yang lebih pendek terbang pada busur ........
Daftar Pustaka

Amin Suyitno. 2001. Meningkatkan Kemampuan Mahasiswa untuk Belajar Mandiri melalui Model Pembelajaran Problem Posing dalam Mata Kuliah Geometri. Laporan Penelitian Tindakan Kelas. Semarang : PGSM – UNNES

Joesoef. 1982. Geometri Ruang. Surabaya : IPIEMS

Kadaruslan. 1990. Geometri Ruang. Semarang : FPMIPA IKIP Semarang.

Oetjoep Ilman, dkk, 1967. Ilmu Ukur Ruang. Jakarta : Widjaja.

Suparyan. 1998. Analisis Tingkat Kemampuan Ruang Para Guru Semarang Tengah dalam Mengajarkan Pokok Bahasan Geometri. Laporan Penelitian. Semarang : IKIP Semarang.






INTERACTIVE HANDOUT

GEOMETRI RUANG
(DIMENSI TIGA)
(Dengan Pendekatan Inquiry-based Learning)


Dipakai untuk
Mahasiswa S1 Pendidikan Matematika
Transfer


Oleh
Drs. Amin Suyitno, M.Pd









UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2007

INTERACTIVE HANDOUT

GEOMETRI RUANG
(DIMENSI TIGA)
(Dengan Pendekatan Inquiry-based Learning)


Dipakai untuk
Mahasiswa S1 Tadris Matematika
Fakultas Tarbiyah


Oleh
Drs. Amin Suyitno, M.Pd
Mujiasih, S.Pd, M.Pd








INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI WALISONGO
2007
BAB I
TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG

A. Pendahuluan
Semua objek matematika adalah abstrak. Begitu pula dengan titik, garis, dan bidang. Titik, garis, dan bidang termasuk undefined terms. Salah satu bangun ruang yang cukup kita kenal adalah kubus. Kubus dibatasi oleh 6 buah bidang datar berbentuk persegi yang kongruen. Karena itu, kubus juga disebut sebagai bidang enam beraturan atau hexaeder.
Keenam bidang yang membatasi bangun ruang tersebut (dalam hal ini kubus) disebut bidang sisi atau sisi. Perpotongan sisi membentuk garis. Garis yang merupakan batas sisi disebut rusuk. Perpotongan rusuk-rusuk disebut titik sudut.
Di sekitar kita, terdapat benda-benda ruang yang konkret, yang bentuknya dapat berupa balok, kubus, prisma, kerucut, tabung, limas, atau bola. Contohnya adalah kaleng susu, dadu, almari, dan sebagainya.

Sekarang, jawablah pertanyaan berikut.
Berapakah banyaknya sisi, rusuk dan titik sudut pada bangun ruang berikut ini?
a. Balok e. Tabung
b. Kubus f. Bola
c. Limas Segitiga g. Limas Segiempat
d. Kerucut h. Prisma Segitiga.


Perhatikan gambar di samping.
Titik A pada bidang U dan garis k me-
nembus bidang U dan V.
Lukiskan bidang yang melalui garis k
dan titik A.


Perhatikan bahwa, garis m dan n berpo-
tongan. Garis m menembus bidang U dan V. Garis n menembus bidang U.
Lukiskan bidang yang melalui garis m dan n.

Pada gambar di samping, garis m dan n keduanya menembus bidang U dan V.
Tunjukkan bahwa garis m dan n tersebut bersilangan.


Garis m terletak pada bidang U.
Titik A terletak pada bidang V.
Lukiskan bidang yang melalui garis m dan titik A.


Garis m pada bidang U, garis n pada bi-dang V, garis k memotong garis m dan menembus bidang V di D.
Lukiskan garis t yang sejajar k dan memo-tong garis m dan n.

3. Perhatikan gambar di samping.
Titik A pada bidang U dan garis k me-nembus bidang U dan V.
Lukiskan bidang yang melalui garis k dan titik A.


4. Perhatikan bahwa, garis m dan n berpo-
tongan. Garis m menembus bidang U dan V. Garis n menembus bidang U.
Lukiskan bidang yang melalui garis m dan n.


5. Pada gambar di samping, Garis m dan n
keduanya menembus bidang U dan V.
Tunjukkan bahwa garis m dan n bersi-
langan.


6. Garis m terletak pada bidang U.
Titik A terletak pada bidang V.
Lukiskan bidang yang melalui garis m
dan titik A.

7. Perhatikan gambar di samping ini.
Garis m pada bidang U, garis n pada bi-
dang V dan garis k memotong garis m
dan menembus bidang V di D.
Lukiskan garis t yang sejajar dengan k
dan memotong garis m dan n.

1 komentar: