FUNGSI KUADRAT
Makalah
Disusun Guna Memenuhi Tugas Akhir Semester
Mata Kuliah : Telaah Kurikulum SMA
Dosen Pengampu : Pujiadi, M.Pd
Oleh :
Mohamad Alwi ( 083511035 )
\
FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI WALISONGO
SEMARANG
2010
FUNGSI KUADRAT
Standar Kompetensi : 2. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat.
KOMPETENSI DASAR INDIKATOR
2.1 Memahami konsep fungsi. 2.1.1 Membedakan relasi yang merupakan fungsi dan yang bukan fungsi.
2.1.2 Mengidentifikasi fungsi kuadrat.
2.2 Menggambar grafik fungsi aljabar sederhana dan fungsi kuadart. 2.2.1 Menggambar grafik fungsi kuadrat.
2.2.2 Menentukan definit positif dan definit negatif.
2.4 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat.
2.5 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat. 2.5.1 Menentukan besaran masalah yang dirancang sebagai variabel fungsi kuadrat.
2.5.2 Membuat model matematika dari suatu masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan fungsi kuadarat.
2.6 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan persamaan dan/atau fungsi kuadrat dan penafsirannya. 2.6.2 Menyelesaikan model matematika dari suatu masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan fungsi kuadarat.
2.6.2 Menafsirkan penyelesaian masalah dalam matematika, mata pelajaran lain atau kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.
MATERI
A. FUNGSI ATAU PEMETAAN
Perhatikan gambar berikut :
Jika fungsi tersebut diberi nama f, maka fungsi tersebut ditulis dengan lambang ( dibaca : f memetakan A ke B ).
1. Daerah Asal, Daerah Kawan, dan Daerah Hasil.
Misalkan f sebuah fungsi yang memetakan tiap anggota himpunan A ke himpunan B ( ), maka :
• Himpunan A dinamakan daerah asal ( domain ) fungsi f.
• Himpunan B dinamakan daerah kawan ( kodomain ) fungsi f.
• Himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan A dinamakan wilayah hasil ( range ) fungsi f.
Contoh soal :
1. Manakah diantara relasi-relasi berikut yang merupakan fungsi atau pemetaan?
Jawab :
Berdasarkan definisi di atas maka dapat diketahui bahwa yang merupakan fungsi atau pemetaan adalah relasi yang (i), karena anggota pada himpunan asal memasang tepat pada satu anggota himpunan kawan. Sedangkan pada relasi yang ke (ii) ada anggota pada himpunan asal memiliki pasangan lebih dari satu pada himpunan kawan yaitu anggota m.
2. Diketahui fungsi dengan daerah asal .
a. Carilah nilai fungsi f untuk .
b. Gambarlah grafik fungsi f pada bidang Cartesius.
c. Tentukan wilayah hasil fungsi f.
Jawab :
a. Nilai fungsi f :
Untuk x = 1 adalah f(1) = 2(1) + 1 = 3.
Untuk x = 2 adalah f(2) = 2(2) + 1 = 5.
Untuk x = 3 adalah f(3) = 2(3) + 1 = 7.
b. Grafik fungsi f dinyatakan oleh persamaan y = 2x +1, yaitu suatu persamaan garis lurus. Beberapa anggota dari f adalah titik-titik dengan koordinat (1,3), (2,5), dan (3,7). Titik-titik itu digambar pada bidang Cartesius, kemudian dihubungkan dengan ruas garis lurus.
c. Berdasarkan grafik fungsi f, maka jelas bahwa wilayah hasilnya adalah {y | 3 }
B. FUNGSI KUADRAT
Definisi :
Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y = dan grafik kuadrat disebut sebagai parabola.
C. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI KUADRAT
Langkah – langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat :
1. Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik – titik yang terletak pada grafik fungsi f. Titik – titik ini dapat ditentukan dengan memilih beberapa nilai x bilangan bulat yang terletak dalam daerah asalnya kemudian dihitung nilai fungsi f. Titik – titik pada fungsi f itu biasanya lebih mudah disajikan dengan menggunakan daftar atau tabel.
2. Gambarkan koordinat titik – titik yang telah diperoleh pada langkah 1 pada sebuah bidang koordinat atau bidang cartesius.
3. Hubungkan titik – titik yang telah digambarkan pada bidang koordinat pada langkah 2 menggunakan kurva yang mulus.
Contoh soal :
1. Gambarlah grafik kuadrat yang ditentukan dengan persamaan , jika daerah asalnya adalah .
Jawab :
Grafik fungsi kuadrat adalah sebuah parabola dengan persamaan .
Langkah 1 :
Kita buat daftar untuk menentukan titik – titik yang terletak pada fungsi f.
X -2 -1 0 1 2 3 4
Y 8 3 0 -1 0 3 8
(x,y) (-2,8) (-1,3) (0,0) (1,-1) (2,0) (3,3) (4,8)
Langkah 2 :
Gambarlah titik – titik (-2,8), (-1,3), (0,0), (1,-1), (2,0), (3,3) dan (4,8) pada bidang Cartesius.
Langkah 3 :
Hubungkan titik – titik pada langkah 2 tersebut dengan kurva yang mulus, sehingga diperoleh grafik fungsi kuadrat . Grafik fungsi kuadrat ini berbentuk parabola.
Berdasarkan grafik fungsi kuadrat tersebut, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :
a. Daerah Asal.
Daerah asal fungsi f adalah .
b. Wilayah Hasil.
Daerah hasil fungsi f adalah }.
c. Pembuat Nol Fungsi.
Untuk nilai x = 0 didapat f(0) = 0 dan untuk x = 2 didapat f(2) = 0. Dalam hal demikian x = 0 dan x = 2 dinamakan pembuat nol fungsi f, dan pembuat nol itu merupakan akar – akar persamaan f(x) = 0.
d. Persamaan Sumbu Simetri.
Parabola dengan persamaan mempunyai sumbu simetri (sumbu setangkup) yang persamaannya x = 1.
e. Koordinat Titik Puncak atau Titik Balik.
Jika nilai x bertambah di dalam daerah asalnya dari -2 sampai dengan 4, maka nilai fungsi berkurang dari 8 menjadi -1 dan sesudah itu nilai fungsi bertambah dari -1 menjadi 8. Jadi, fungsi mengalami perubahan nilai dari turun menjadi naik. Tempat perubahan dari turun menjadi naik itu terjadi pada titik P (1,-1). Dalam hal demikian, titik P (1,-1) dinamakan titik balik atau titik puncak parabola. Pada titik P (1,-1), ordinat y = -1 merupakan nilai terkecil pada kurva, sehingga titik P (1,-1) diberi nama titik balik minimum.
f. Nilai Maksimum atau Minimum Fungsi.
Untuk x = 1 diperoleh f(1) = -1 ini disebut nilai minimum fungsi f, sebab nilai itu adalah nilai fungsi f yang terkecil.
Ketentuan – ketentuan dalam grafik fungsi kuadrat :
a. Parabola , dengan dan , mempunyai titik puncak atau titik balik .
b. Jika a > 0, titik baliknya adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas. Sedangkan jika a < 0, titik baliknya adalah titik balik maksimum dan parabolanya terbuka ke bawah.
c. Persamaan sumbu simetri parabola adalah .
1. Membuat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah – langkah :
a. Menentukan titik potong dengan sumbu y ( garis x = 0 ).
b. Menentukan titik potong dengan sumbu x ( garis y = 0 ).
c. Menentukan persamaan sumbu simetri dan nilai ekstrim fungsi.
d. Menentukan titik pada parabola.
• Sumbu simetri parabola
• Nilai ekstrim ( nilai puncak )
• Titik puncak parabola
e. Hubungkan titik – titik di atas sehingga terjadi kurva parabola.
2. Tanda – tanda Grafik Fungsi Kuadrat
a. Kaitan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat
Pada hakekatnya, titik potong grafik fungsi kuadrat dapat diperoleh dengan cara menentukan nilai – nilai x yang mengakibatkan nilai y = 0. Ini berarti proses menentukan akar – akar persamaan kuadrat . Dengan demikian, tingkah laku dan titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x dapat dipelajari dengan mengkaji dan memeriksa sifat – sifat dari persamaan kuadratnya. Sifat inilah yang menunjukkan kaitan antara persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
b. Kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu x.
Kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu x secara keseluruhan ada enam kemungkinan. Keenam kemungkinan kedudukan itu ditentukan oleh tanda – tanda dari a dan tanda – tanda dari diskriminan . Keenam kemungkinan tersebut adalah :
1. Jika a > 0 dan D > 0.
Maka parabola terbuka ke atas dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
2. Jika a > 0 dan D = 0.
Maka parabola terbuka ke atas dan menyinggung sumbu x. Dikatakan parabola di atas dan pada sumbu x untuk setiap x . Secara aljabar dapat dikatakan :
Bentuk untuk setiap , atau bentuk tidak pernah negatif untuk setiap .
3. Jika a > 0 dan D < 0.
Maka parabola terbuka ke atas dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. Dikatakan parabola selalu berada di atas sumbu x untuk setiap . Secara aljabar dapat dikatakan :
Bentuk untuk setiap , atau bentuk disebut definit positif.
4. Jika a > 0 dan D > 0.
Maka parabola terbuka ke bawah dan memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
5. Jika a < 0 dan D = 0.
Maka parabolanya terbuka ke bawah dan menyinggung sumbu x. Dikatakan parabola di bawah dan pada sumbu x untuk setiap x R.
6. Jika a < 0 dan D < 0.
Maka parabolanya terbuka ke bawah dan tidak memotong maupun menyinggung sumbu x. Dikatakan parabola selalu berada di bawah sumbu x untuk setiap x R. (definit negatif).
D. MERANCANG MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN FUNGSI KUADRAT
Contoh soal :
1. Seutas kawat mempunyai panjang 40 cm. Kawat itu berbentuk menjadi persegi panjang dengan panjang x cm dan lebar y cm. Luas persegi panjang dinyatakan dengan L (cm2).
a. Nyatakan L sebagai fungsi x.
b. Carilah luas persegi panjang yang terbesar.
Jawab :
a. Panjang kawat = keliling persegi panjang = 40.
Luas persegi panjang
Jadi, L sebagai fungsi x adalah .
b. merupakan fungsi kuadrat dalam x dengan a = -1, b = 20, dan c = 0.
Jadi, luas persegi panjang yang terbesar adalah L = 100 cm2.
LATIHAN SOAL
I. Silanglah (x) huruf a, b, c, d, atau e di depan jawaban yang tepat.
1. Grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1,-4) dan melalui titik (2,-3),persamaannya adalah ………
a. d.
b. e.
c.
2. Diketahui suatu fungsi kuadrat yang memotong sumbu x di titik (-4,0) dan (3,0) serta memotong sumbu y di titik (0,-12), mempunyai persamaan ……..
a. d.
b. e.
c.
3. Diketahui fungsi kuadrat dengan daerah asal }. Daerah hasil fungsi f adalah ……..
a. d.
b. e.
c.
4. Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum -3 untuk x = 2, sedangkan untuk x = -2 fungsi berharga -11, maka fungsi tersebut adalah ………
a. d.
b. e. -
c.
5. Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Tinggi peluru h ( dalam meter ) sebagai fungsi waktu t ( dalam detik ) dirumuskan dengan . Carilah tinggi maksimum yang dapat dicapai dan waktu yang diperlukan ………..
a. h = 80 dan t = 4 d. h = 30 dan t = 6
b. h = 50 dan t = 4 e. h = 40 dan t = 5
c. h = 80 dan t = 5
II. Kerjakan soal – soal du bawah ini secara singkat dan tepat !
1. Diketahui A = { x -4 x 4, x } dan f : A ditentukan oleh f(x) = x2 – 9. Gambarlah grafik f dan tentukan daerah hasil fungsi !
2. Diketahui A = { x -3 x 3, x } dan f : A ditentukan oleh f(x) = x (x+2)(x-3).
a. Carilah pembuat nol dari f .
b. Hitunglah f (1), f(-1), f(3), f(-3).
c. Gambarlah grafik f dan tentukan daerah hasil f.
d. Selesaikan pertidaksamaan f(x) > 0.
3. mempunyai nilai minimum 4 untuk x = -2, hitung nilai a dan b !
4. Tinggi h meter suatu roket setelah t detik adalah . Tentukan tinggi maksimum roket tersebut !
5. Suatu persegi panjang luasnya 900 m2. Tentukan ukuran persegi panjang tersebut supaya kelilingnya minimum !
DAFTAR PUSTAKA
Wirodikromo, Sartono. 2002. Matematika Untuk SMA Jilid 1. Jakarta : Penerbit Erlangga.
Arifin, S. Teguh dkk. 1999. Rumus – rumus Matematika Lengkap. Surabaya : Apollo.
Rabu, 06 April 2011
BAB I KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG
BAB I
KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG
Alat Peraga yang Disarankan :
1. Benda-benda di sekitar kita, yang berupa benda ruang.
2. Bangun ruang berupa kerangka kubus, balok, limas, dan sebagainya.
3. Model bangun ruang dari karton berupa kubus, balok, limas, dan sebagainya.
4. Buku-buku tipis sebagai model bidang dan pensil-pensil sebagai model garis.
A. Pengantar
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai benda-benda ruang seperti berikut ini.
Benda-benda konkret seperti tersebut di atas, merupakan model dari bangun abstrak geometri seperti berikut ini.
Di kalangan para siswa, ternyata mengabstraksikan benda ruang yang konkret menjadi sebuah bangun ruang yang abstrak memiliki tingkat kesukaran yang tinggi. Proses ini sangat memerlukan daya abstraksi yang tinggi dan nalar yang memadai dari para siswa, bahkan dari guru itu sendiri. Karena itu sangat disarankan agar guru benar-benar memanfaatkan penggunaan alat peraga.
Dalam geometri terdapat beberapa pengertian pangkal yang harus sudah dipahami. Pengertian pangkal tersebut antara lain pengertian tentang titik, garis, dan bidang. Garis yang dimaksud di sini adalah garis lurus, dan bidang yang dimaksud di sini adalah bidang datar.
B. Kedudukan Titik-titik di Dalam Ruang
1. Empat buah titik yang berbeda biasanya tidak terletak dalam satu bidang. Kapankah empat buah titik terletak dalam satu bidang? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perhatikan gambar (1)
Titik-titik P, Q dan R terletak pada bidang ; sedangkan titik S tidak terletak pada bidang .
Pada gambar (2), P, Q dan R terletak pada bidang . . .( ). . . sedangkan titik S tidak terletak pada bidang . ( ). . . .
Titik P, S dan R terletak pada bidang . . .( ) . . . . ., tetapi titik . . (S). . . . tidak terletak pada bidang .
2. Tiga buah titik yang berbeda, biasanya tidak terletak pada satu garis.
Kapankah tiga buah titik terletak dalam satu garis? . . .(jika terletak sejajar) . . . . ...............................................................
Titik P dan Q terletak pada garis a. Titik R di luar garis a.
C. Kedudukan Dua Buah Garis
1. Pada gb. 4, garis a dan b sejajar, a dan b sebidang, dan tak ada titik persekutuan antara a dan b.
2. Pada gb. 5, garis a dan b berpotongan, a dan b sebidang, antara garis a dan b memiliki satu titik persekutuan.
3. Pada gb. 6, garis a dan b bersilangan, a dan b tidak sebidang, garis a dan b tidak memiliki titik persekutuan.
Contoh :
ABCD. EFGH suatu kubus.
Isilah dengan sejajar, berpotongan, atau bersilangan.
(1) AE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GC
(2) AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
(3) BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DH
(4) ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BG
(5) DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CF
Gb. (7) (6) BH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BF
(7) HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DB
(8) AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HG
(9) CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
(10) EG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
Perhatikan aksioma dan teorema berikut ini.
Aksioma 1
Melalui dua buah titik hanya dapat dilukis sebuah garis saja.
Aksioma 2
Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai 2 titik persekutuan, maka garis tersebut terletak seluruhnya pada bidang tersebut.
Aksioma 3
Tiga buah titik yang tidak segaris selalu dapat dilalui oleh sebuah bidang.
Teorema 1
Sebuah bidang ditentukan oleh 3 titik yang tidak segaris.
Teorema 2
Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.
Teorema 3
Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis yang berpotongan.
Teorema 4
Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis yang sejajar.
D. Kedudukan Dua Buah Bidang
Gb. (8) Gb. (9)
1. Lihat gb. 8. 2. Lihat gb. 9.
Sejajar Berpotongan
Tak ada garis persekutuan Ada satu garis persekutuan
antara bidang-bidang dan antara bidang-bidang dan
Contoh :
1) Diketahui kubus ABCD. EFGH.
Isilah dengan kata sejajar atau berpotongan.
(1) Bidang ABCD . . . . bidang DCFE
(2) Bidang EFGH . . . . bidang ABCD
(3) Bidang ACGE . . . . bidang BDHF
(4) Bidang ADHE . . . . bidang BCGF
(5) Bidang AFH . . . . bidang FGH
(6) Bidang AEH . . . . bidang BFG
Gb. (10)
2) Sebuah garis dapat diperpanjang, begitu juga sebuah bidang juga dapat di .......................
3) Untuk melukis garis persekutuan (garis potong) antara dua buah bidang, diperlukan dua buah titik persekutuan. Garis hubung antara dua titik persekutuan tersebut, merupakan garis potong yang dicari.
Gb. (11) Gb. (12) Gb. (13)
a) Gambar 11 : Garis potong antara bidang BCHE dan ADGF adalah . . . . .
b) Gambar 12 : Garis potong antara bidang BDE dan AFH adalah . . . . .
c) Gambar 13 : Garis potong antara bidang BDE dan CDEF adalah . . . . .
4) TPQRS suatu limas sisi empat.
A adalah suatu titik persekutuan antara bidang ARS dan bidang TPS.
(a) Jika bidang ARS diperluas, tentukan titik persekutuannya dengan TQ.
(b) Tentukan garis potong antara bidang ARS dan TPQ
(c) Tentukan garis potong antara bidang ARS dan TQR
Gb. (14)
Jawab :
(a) Titik persekutuannya adalah . . . .
(b) Garis potong antara bidang ARS dan TPQ adalah . . . .
(c) Garis potong antara bidang ARS dan TQR adalah . . . .
Catatan : RS, SA dan kedua garis potong pada soal (b) dan (c) membentuk penampang (irisan) bidang ARS dengan limas yaitu bidang ........
E. Kedudukan Garis terhadap Bidang.
Gb. (15) Gb. (16) Gb. (17)
1. Garis a sejajar bidang jika garis a dan bidang tidak mempu-nyai titik persekutuan (Gb. 15) 2. Garis a memotong bidang jika garis a dan bidang hanya mempunyai satu titik persekutuan (Gb. 16) 3. Garis a terletak pada bidang (atau bidang melalui garis a) jika garis a dan bidang mempu-nyai titik persekutuan lebih dari sebuah
Contoh :
ABCD. EFGH suatu kubus.
Isilah dengan sejajar, terletak atau memotong, sehingga kalimat di bawah ini benar.
(1) Garis EG ............. bidang ABCD
(2) Garis BG ............. bidang ADHE
(3) Garis HF ............. bidang BDG
(4) Garis AE ............. bidang CDFE
(5) Garis AC ............. bidang ADHE
(6) Garis BG ............. bidang ABGH
(7) Garis EG ............. bidang BDHF
(8) Garis BE ............. bidang CDHG
(9) Garis CF ............. bidang EFGH
(10) Garis DF ............. bidang ACGE
Latihan:
1. Diketahui titik A dan B pada bidang V. Titik C pada bidang W.
Lukiskan bidang H yang melalui titik A, B, dan C.
2. Diketahui garis a pada bidang V. Titik P pada bidang W.
Lukiskan bidang yang melalui garis a dan titik P.
3. Diketahui titik T pada bidang V, garis a menembus bidang-bidang H dan V.
Lukiskan bidang yang melalui garis a dan titik T.
4. Garis-garis a dan b berpotongan, a menembus bidang-bidang H dan V, b menembus bidang V.
Lukiskan bidang melalui a dan b.
5. Garis a menembus bidang-bidang H dan V, garis b menembus bidang-bidang H dan V.
Tunjukkan bahwa garis a dan b bersilangan.
6. Titik T pada bidang V, garis a pada bidang H.
Lukiskan bidang melalui garis a dan titik T.
7. Garis a pada bidang H, garis b pada bidang V, garis c memotong b dan menembus bidang H di titik A.
Lukiskan garis x yang sejajar dengan c dan memotong a dan b.
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
P titik potong diagonal BG dan CF.
Ditanya :
a. Lukis garis x yang sejajar garis HP dan memotong garis DE dan BG.
b. Lukis garis y yang melalui titik P dan sejajar AG. Tentukan titik tembusnya dengan bidang ABFE.
9. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
P pertengahan AB
Q pertengahan CG
Ditanyakan :
a. Lukiskan garis-garis potong bidang ABQ dengan bidang-bidang sisi kubus.
b. Lukis garis x yang melalui B dan memotong garis-garis PQ dan DH.
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
P pertengahan AE
Ditanyakan :
a. Tentukan titik potong garis x yang melalui P dan sejajar AG dengan bidang EFGH.
b. Tentukan titik potong garis PG dengan bidang-bidang BDHF dan BDE
BAB II
MELUKIS TITIK TEMBUS GARIS DENGAN BIDANG
Langkah melukis titik tembus garis dengan bidang
gb (19) gb (20) gb (21)
Ditentukan garis a dan bidang (gambar 19)
Bagaimana cara melukis titik potong garis a dan bidang .
Jawab :
Perhatikan gambar 20 dan gambar 21.
(1) Buat bidang bantu yang melalui a.
(2) Tentukan garis potong antara bidang bantu dengan bidang yaitu (,). Ingatlah, perlu dua titik persekutuan.
(3) Perpotongan a dengan (,) ialah titik tembus a dengan bidang (misalnya titik P).
Contoh :
Gb. (22) Gb. (23) Gb. (24)
Lihat gambar 22.
Tentukan titik potong EC dengan bidang BDHF, dengan bidang bantu ACGE. Dapatkah dipilih bidang bantu yang lain? . . . . .
Lihat gambar 23.
Tentukan titik potong garis AG dengan bidang BDE.
Pilih bidang bantu sendiri.
(Bidang bantu tersebut adalah . . . . . . . . . .)
Lihat gambar 24.
Tentukan titik potong PQ dengan bidang ACF.
Latihan
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.
a. Lukiskan titik tembus garis yang melalui C tegak lurus ke bidang BDG.
b. Hitung jarak titik C ke bidang BDG.
2. Diketahui limas tegak T. ABCD dengan bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 4 cm, BC = 3 cm, dan TA = TB = TC = TD = 6,5 cm.
a. Tentukan titik tembus O, jika TO merupakan jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD.
b. Hitung panjang AC.
c. Hitung panjang TO.
Catatan :
Jarak adalah garis hubung terpendek. Konsep tentang jarak atau kita pelajari lebih mendalam dalam BAB IV.
BAB III
SUDUT
A. Sudut antara Dua Garis
Sudut antara dua garis bersilangan a dan b sama dengan sudut antara a’ dan b yang berpotongan dengan ketentuan a’//a.
Atau :
Sudut antara dua garis bersilangan a dan b sama dengan sudut antara a’ dan b’ yang berpotongan dengan ketentuan a’//a dan b’//b.
Gambarnya sebagai berikut.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH.
Tentukan besar sudut antara garis-garis di bawah ini dengan jalan memindahkan salah satu garis itu sejajar dengan dirinya sendiri sehingga memotong garis yang lain.
Gb. (26)
(1) AD dan CG sama dengan AD dan DH, dan besarnya 90o
(2) CD dan EG sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(3) BF dan DE sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(4) BG dan AC sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(5) BC dan AG sama dengan ....... dan ........, yaitu ..........
(6) BG dan DE sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(7) BE dan AH sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(8) BE dan AC sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(9) ED dan AG sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(10) AC dan DE sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
Catatan : Selanjutnya yang dimaksudkan dua garis tegak lurus, mungkin memotong tegak lurus atau menyilang tegak lurus.
B. Sudut antara Garis dan Bidang
Sudut antara sebuah garis dan sebuah bidang ialah sudut antara garis itu dengan proyeksinya pada bidang itu.
a1 = proyeksi a pada bidang .
Sudut antara a dan bidang adalah sudut antara a dan a1
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm.
1) Sudut antara AH dan bidang alas ABCD sama dengan sudut antara AH dan .......... = .........o
2) Bila = sudut antara DF dan bidang alas ABCD.
Sudut antara DF dan bidang alas ABCD sama dengan sudut antara DF dan ........
tg =
3) Bila = sudut antara DE dan bidang ABCD. Sudut antara DE dan bidang alas ABCD sama dengan sudut antara DE dan .........
tg = Jadi = ..... = ..... .
C. Sudut antara Dua Buah Bidang
Sudut antara dua buah bidang dan , ialah sudut antara dua garis a dan b, a pada bidang ........, b pada bidang ........ dan masing-masing tegak lurus garis potong (,) di satu titik.
a pada bidang ....... dan a (,) di P.
b pada bidang ....... dan b (,) di P.
Sudut antara dan (misalnya ) adalah sudut antara a dan b.
Contoh :
(i) Tunjukkan sudut antara :
1) bidang CDFE dab ABCD,
2) bidang BDE dan bidang ABCD,
3) bidang BDHF dan bidang ACGE.
Jawab :
1) Sudut antara bidang CDFE dan ABCD sama dengan sudut antara garis ....... dan ....... = .........
(ii) 2) Sudut antara bidang BDE dan ABCD sama dengan sudut antara garis ....... dan ....... = .........
(iii) 3) Sudut antara bidang BDHF dan ACGE sama dengan sudut antara garis ....... dan ....... = .........
Gb. (30)
BAB IV
GARIS TEGAK LURUS BIDANG DAN JARAK
A. Garis Tegak Lurus Bidang
Sebuah garis yang tegak lurus pada dua garis yang berpotongan yang terletak pada suatu bidang, akan tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang itu.
Selanjutnya, garis itu disebut tegak lurus pada bidang itu.
Misalnya :
Gambar beberapa kemungkinan letak k, a dan b.
K memotong tegal lurus a dan b. K memotong tegak lurus a dan k menyilang tegak lurus b. K menyilang tegak lurus a dan b
Contoh :
Ditentukan ABCD.EFGH suatu kubus.
Tunjukkan bahwa AG BD.
..... dan ..... berpotongan dan terletak pada bidang ..............
BD bidang ............
Jadi BD tegak lurus dengan setiap garis yang terletak pada bidang ............
AG terletak pada bidang ............
AG BD
B. Jarak
1. Jarak antara dua titik
Jarak antara dua titik ialah panjang garis lurus antara dua titik itu.
2. Jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan garis ialah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis itu.
PP1 a
PP1 = jarak P ke garis a
Gb. (33)
3. Jarak antara dua garis sejajar
Jarak antara dua garis sejajar ialah jarak antara sebuah titik di garis yang satu ke garis yang lain.
a / / b
P di a; PP1 b
PP1 = jarak antara a dan b
4. Jarak antara titik dan sebuah bidang
Jarak antara titik dan sebuah bidang adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang itu.
PP1 bidang H
PP1= jarak P ke bidang H
Gb. (35)
5. Jarak antara garis dan bidang (garis itu sejajar bidang)
Jarak antara garis dan bidang ialah jarak antara suatu titik di garis itu ke bidang itu.
garis a / / bidang H
P pada garis a
PP1 bidang H
PP1 = jarak a ke bidang H
Gb. (36)
6. Jarak antara dua bidang sejajar
Jarak antara dua bidang sejajar ialah jarak antara titik pada bidang yang satu ke bidang yang lain.
Bidang U sejajar bidang V
P pada U, PP1 bidang V
PP1 = jarak antara bidang U dan V
Gb. (37)
7. Jarak antara dua garis bersilang
Jarak antara dua garis a dan b yang bersilang ialah jarak antara garis a dengan bidang H yang melalui b dan sejajar a.
H melalui b dan H sejajar a.
Jarak a ke b = jarak a ke bidang H
Gb. (38)
Catatan :
Jika PQ a dan PQ b, maka PQ disebut garis tegak lurus persekutuan antara a dan b.
= jarak antara a dan b yang bersilangan.
Gb (39)
Contoh :
Penerapan
1) Jika panjang rusuk-rusuk ABCD.EFGH sama dengan a, tentukan
a) panjang diagonal sisi AC
b) panjang diagonal ruang EC
c) Jarak E ke garis BG
Jawab :
a) Panjang diagonal sisi AC =
b) Perhatikan ACE yang siku-siku di A
EC2 = AC2 + AE2 = ...... 2 + ...... 2
EC = ............
c) Jika kita perhatikan EBG maka sehitiga itu sama .......... sehingga garis tinggi dari E sama dengan garis berat. Jadi jarak E ke BG sama dengan jarak E ke titik ............. BG.
Jika P pertengahan BG, maka segitiga EPG siku-siku di ..........
EP2 = ...... 2 - ...... 2 = ...... 2 - ...... 2
EP = ................ = ................ , Jadi jarak E ke garis BG = ...........
2) ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk-rusuk a.
Tentukan jarak P ke bidang BDHF.
Jawab :
Garis dari P bidang BDHF akan sejajar dengan garis dari E ke ...... atau dari A ke ...........
Tentukan titik potong garis P / / EG dengan bidang BDHF (dengan bidang bantu ACGE).
Jarak P ke bidang BDHF = ½ EG = ....
BAB V
PENAMPANG IRISAN
A. Pengertian
1. Irisan antara bidang dan bangun ruang adalah suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan bidang-bidang sisi dari bangun ruang, sehingga irisan itu membagi bangun ruang menjadi dua bagian.
2. Sumbu afinitas (garis dasar atau garis koliniasi) adalah garis potong antara bidang irisan dengan bidang alas bangun ruang yang diirisnya. Sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan bidang alas.
Contoh :
1. Misal kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4 cm. Titik K pada AE sehingga AK = KE, titik L pada BF sehingga BL = ¼ BF. Lukiskan irisan antara kubus dengan bidang yang melalui titik-titik H, K, dan L.
Langkahnya :
- Lukis sumbu afinitas ......., dengan P adalah titik potong antara garis HK dan ........, titik Q adalah titik potong antara garis KL dan garis ........
- Garis potong bidang yang melalui titik-titik H, K, dan L dengan bidang-bidang sisi kubus adalah ........, ........, ........, .........
- Jadi, irisan antara kubus dengan bidang yang melalui titik-titik H, K, dan L adalah bidang HKLM.
2. Pada limas T.ABCD, titik-titik K, L, dan M terletak pada bidang-bidang TDA, TAB, dan TBC. Bidang melalui titik-titik K, L, dan M. Gambarlah irisan limas T.ABCD dengan bidang .
Keterangan gambar :
........................................................................................................................................................................................................................................................................................
Latihan
1. Pada prisma ABCD.EFGH titik-titik K dan L terletak pada bidang-bidang sisi tegak ABFE dan BCGF, titik M terletak pada bidang atas EFGH. Bidang melalui titik-titik K, L, dan M. Gambarlah irisan prisma itu dengan bidang .
2. Gambarlah irisan limas T.ABCD dengan bidang jika bidang melalui titik-titik K, L, dan M.
3. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Titik-titik K, L, dan M berturut-turut adalah titik pusat bidang-bidang sisi ABFE, BCGF, dan EFGH. Bidang melalui titik-titik K, L, dan M.
a. Lukiskan irisan kubus ABCD.EFGH dengan bidang .
b. Sebut nama bangun irisan itu, dan hitunglah luasnya.
BAB VI
LUAS DAN VOLUM BANGUN RUANG
Luas dan Volum/Isi Bangun Ruang
Luas = luas alas + luas atas + jumlah luas sisi-sisi tegak
Volum = tinggi x luas alas
Luas = luas alas + jumlah luas sisi-sisi tegak
Volum = 1/3 tinggi x luas alas
Luas tabung = luas alas + luas atas + luas bidang lengkung tabung
= .......... + ........... + ...........
= .................
Isi = tinggi x luas alas
= .......... + ..........
Luas kerucut
= luas bidang lengkung kerucut + luas alas
= .......... + ..........
Volum Kerucut
= 1/3 x tinggi x luas alas
= 1/3 x ......... x ...........
Catatan :
Bidang lengkung kerucut berupa juring lingkaran, jika = sudut pusat juring.
di mana r = jari-jari lingkaran alas kerucut
A = apothema (garis pelukis)
Sedangkan:
Volum kerucut terpancung =
Luas = luas alas + luas atas + jumlah luas sisi-sisinya
Volum limas terpancung
=
Perhatikan : rumus ini hanya berlaku pada limas segitiga
Luas = luas alas + luas atas + jumlah luas sisi-sisinya.
Volum = luas alas x 1/3 (jumlah rusuk tegak)
Luas bola = 4 R2
Isi bola =
Bola
Contoh :
Penerapan :
1) ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk 4 cm. P dan Q masing-masing tengah-tengah FG dan HG.
Tentukan volum limas terpancung BCD.PGQ.
Jawab :
Isi/volum limas terpancung = 1/3 tinggi x (luas alas + luas atas +
Tinggi = CG = .......... cm
Luas alas = Luas BCD = ............ cm2
Luas atas = Luas PGQ = ............ cm2
Jadi isi BCD.PGQ =
= ....... (..........) cm3
= ........... cm3
2) ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk 8 cm. CQ = 6 cm. Bidang APQR//BD. Tentukan isi benda ABCD.PQR.
Jawab : Isi benda ABCD.PQR
Terdiri dari dua prisma sisi 3 tegak terpancung yaitu ABD.PR dan BCD.PQR.
Isi prisma sisi tiga tegak terpancung = luas alas x 1/3 (jumlah rusuk tegak)
Isi ABD.PR = L ABD x 1/3 (0 + BP + DR)
= ............ x 1/3 (0 + ...... + .......) cm3 = ....... cm3
Isi BCD.PQR = L BCD x 1/3 (BP + CQ + DR)
= ............ x 1/3 (...... + ...... + .......) cm3 = ....... cm3
Isi ABCD.PQR = ...... cm3 + ........ cm3 = ......... cm3
BAB VII
SOAL-SOAL PENGEMBANGAN
A. Irisan
1. Diketahui limas segienam T.ABCDEF. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk TA, bidang TAB, dan rusuk TE seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Lukislah irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan limas segienam T.ABCDEF.
Penyelesaian:
W perpotongan EF dan BA. Hubungkan TW.
Buat garis PQ, yang memotong TW di Z, memotong TB di ….. , dan memotong perpanjangan WB di ……
WE dan ZR berpotongan di …..
Sumbu afinitasnya adalah garis …..
Perpanjang garis BC dan ED yang memotong sumbu afinitas di ….. dan di …..
Jika telah diperoleh titik L dan M seperti tampak pada gambar di atas, maka bidang yang dimaksudkan adalah
bidang ……….
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada pertengahan rusuk EH. Titik Q terletak pada pertengahan bidang ABFE dan titik R terletak pada rusuk BF, sehingga BR : BF = 1 : 4. Tentukan irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan kubus tersebut.
B. Garis Tegak Lurus Bidang
1. Dalam kubus ABCD.EFGH dengan AB = 8 cm, titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak pada pertengahan BC, CG, DH, dan AD. Tentukan jarak antara bidang ABGH dan PQRS.
Penyelesaian
BP = ….. BC = ….. x 8 = ….. cm.
sin PBP’ = sin 45 = PP’ = …..cm.
Jadi jarak antara ABGH dan PQRS adalah ….. cm.
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 48 cm. Tentukan jarak titik E ke bidang BDG.
C. Sudut antara Garis dengan Bidang
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Titik M perte-ngahan bidang ABCD. Tentukan:
a. Tangen dari sudut antara garis EC dan bidang ABCD.
b. Tangen dari sudut antara garis FM dan bidang ABCD.
Penyelesaian
a. = sudut antara garis ….. dan bidang …..
AC = ….. cm
Dalam ECA, tan =
b. = sudut antara garis ….. dan bidang …….
BD = AC = ….. ...cm dan BM = ….. ...cm.
Dalam FBM, tan =
Gambar:
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 12 cm. Titik M terletak pada perpotongan diagonal bidang alas. Tentukan nilai tangen dari sudut antara garis MH dan bidang ADHE serta garis BH dan bidang ADHE.
D. Volume
1. The diagonals EG and HF of the cube ABCD.EFGH meet at the point T. Find ratio in volume of the pyramid T. ABCD to the cube.
TM = a = altitude of pyramid T.ABCD.
Volume of pyramid T.ABCD : volume of cube =
= …. : ….
2. If is volume of the largest cone inscribed a cylinder of volume , then find the value of : .
: =
= …. : ….
3. In the cube ABCD.EFGH, find the ratio in volume of pyramid E.ABCD to the volume of cube.
4. In the cube ABCD.EFGH of edge 1 cm, the edge DH is extended to be DN, where HN = cm. The line BN intersect the plane EFGH at the point M. Find the length of NM.
---000---
Daftar Pustaka
Amin Suyitno. 2001. Meningkatkan Kemampuan Mahasiswa untuk Belajar Mandiri Melalui Model Pembelajaran Problem Posing dalam Mata Kuliah Geometri. Laporan Penelitian Tindakan Kelas. Semarang: PGSM – UNNES.
Husein Tampomas. 1999. Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Joesoef. 1982. Geometri Ruang. Surabaya: IPIEMS.
Kadaruslan. 1990. Geometri Ruang. Semarang: FMIPA IKIP Semarang.
Oetjoep Ilman, dkk. 1967. Ilmu Ukur Ruang. Jakarta: Widjaja.
BAB VIII
BUMI SEBAGAI BOLA
A. Bumi sebagai Bola, Garis Lintang dan Garis Bujur
Bumi kita mirip sekali dengan sebuah bola. Untuk membuat model matematika dari bumi kita, kita mengambil garis tengah US melalui kutub Utara dan kutub Selatan sebagai sumbu pusatnya. Jika O titik tengah US, dan OP tegak lurus US, maka tempat kedudukan P adalah khatulistiwa.
Irisan lingkaran yang tegak lurus pada US disebut Garis Lintang atau lingkaran paralel.
Lingkaran paralel (garis lintang) yang pusatnya berimpit dengan pusat bumi disebut khatulistiwa yang mempunyai besar sudut lintang 0.
Sedangkan besar sudut lintang yang paling besar adalah 90 Utara dan 90 selatan dari khatulistiwa.
Pada gambar terlihat bahwa titik P terletak pada khatulistiwa. Titik A mempunyai garis lintang ....... Utara (..... lintang Utara) dan titik B mempunyai garis lintang ..... Selatan (..... lintang Selatan)
Irisan lingkaran yang bergaris tengah US disebut garis bujur atau meridian. Meridian yang melalui kota Greenwich disebut meridian Greenwich yang mempunyai besar sudut 0.
Kota Greenwich kira-kira terletak 51 lintang Utara.
Besar sudut bujur paling besar 180 ke arah Timur atau 180 ke arah Barat Greenwich.
Pada gambar jika G adalah Greenwich dan POD = 48; POA = 30.
Maka : Titik C terletak pada ..... lintang Utara dan ...... bujur ......
Titik D terletak pada ..... lintang Utara dan ...... bujur ......
Titik A terletak pada khatulistiwa dan ...... bujur ......
Letak diametral
Jika kota A dan B merupakan titik-titik ujung dari garis tengah bumi, maka letak A dan B disebut diametral.
Penduduk A dan B disebut penduduk yang bertentangan kaki.
Jadi jika A suatu tempat di 35 LS dan 40 BB, maka B adalah suatu tempat di .......... dan ...........
Jari-jari lingkaran paralel dan jarak sepanjang lingkaran paralel
Jika titik A terletak pada posisi garis lintang 60 dan garis bujur 12 T, sedangkan posisi titik B adalah garis lintang 60 U dan garis bujur 18 B. P adalah pusat lingkaran paralel yang melalui titik A dan B, jari-jari bumi R = 6400 km.
Tentukan :
a) besar APB
b) jari-jari lingkaran paralel yang melalui A dan B (= AP)
c) panjang busur AB
d) jika pesawat udara terbang sepanjang setengah lingkaran paralel pada garis lintang 60 U, hitunglah jarak terbang pesawat tadi (panjang busur ABT).
e) Jika pesawat itu juga terbang dari A ke T lewat Kutub Utara, hitunglah jarak terbang pesawat tadi (panjang busur AUT)
f) Mana yang lebih pendek, terbang pada busur ABT atau terbang pada busur AUT.
Jawab :
a) Karena posisi A pada garis bujur ...... dan posisi titik B pada garis bujur ..... maka busur AB = ........
Jadi APB = ......
b) Lingkaran meridian UAQS kita gambarkan sebagai berikut.
Lihat OAP
OA = R = 6400 km
cos 60 =
c) panjang busur AB = Keliling lingkaran meridian
= ....... 2 .......
= ...................... km
d) panjang busur AB = Keliling lingkaran paralel ABT
= 2 ..........
= ...................... km
e) AOT = 2 . AOP = 2 . ...... = ......
panjang busur AUT = Keliling lingkaran paralel ABT
= ....... . 2 . 6400 km
= ...................... km
f) Jadi yang lebih pendek terbang pada busur ........
Daftar Pustaka
Amin Suyitno. 2001. Meningkatkan Kemampuan Mahasiswa untuk Belajar Mandiri melalui Model Pembelajaran Problem Posing dalam Mata Kuliah Geometri. Laporan Penelitian Tindakan Kelas. Semarang : PGSM – UNNES
Joesoef. 1982. Geometri Ruang. Surabaya : IPIEMS
Kadaruslan. 1990. Geometri Ruang. Semarang : FPMIPA IKIP Semarang.
Oetjoep Ilman, dkk, 1967. Ilmu Ukur Ruang. Jakarta : Widjaja.
Suparyan. 1998. Analisis Tingkat Kemampuan Ruang Para Guru Semarang Tengah dalam Mengajarkan Pokok Bahasan Geometri. Laporan Penelitian. Semarang : IKIP Semarang.
INTERACTIVE HANDOUT
GEOMETRI RUANG
(DIMENSI TIGA)
(Dengan Pendekatan Inquiry-based Learning)
Dipakai untuk
Mahasiswa S1 Pendidikan Matematika
Transfer
Oleh
Drs. Amin Suyitno, M.Pd
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2007
INTERACTIVE HANDOUT
GEOMETRI RUANG
(DIMENSI TIGA)
(Dengan Pendekatan Inquiry-based Learning)
Dipakai untuk
Mahasiswa S1 Tadris Matematika
Fakultas Tarbiyah
Oleh
Drs. Amin Suyitno, M.Pd
Mujiasih, S.Pd, M.Pd
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI WALISONGO
2007
BAB I
TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG
A. Pendahuluan
Semua objek matematika adalah abstrak. Begitu pula dengan titik, garis, dan bidang. Titik, garis, dan bidang termasuk undefined terms. Salah satu bangun ruang yang cukup kita kenal adalah kubus. Kubus dibatasi oleh 6 buah bidang datar berbentuk persegi yang kongruen. Karena itu, kubus juga disebut sebagai bidang enam beraturan atau hexaeder.
Keenam bidang yang membatasi bangun ruang tersebut (dalam hal ini kubus) disebut bidang sisi atau sisi. Perpotongan sisi membentuk garis. Garis yang merupakan batas sisi disebut rusuk. Perpotongan rusuk-rusuk disebut titik sudut.
Di sekitar kita, terdapat benda-benda ruang yang konkret, yang bentuknya dapat berupa balok, kubus, prisma, kerucut, tabung, limas, atau bola. Contohnya adalah kaleng susu, dadu, almari, dan sebagainya.
Sekarang, jawablah pertanyaan berikut.
Berapakah banyaknya sisi, rusuk dan titik sudut pada bangun ruang berikut ini?
a. Balok e. Tabung
b. Kubus f. Bola
c. Limas Segitiga g. Limas Segiempat
d. Kerucut h. Prisma Segitiga.
Perhatikan gambar di samping.
Titik A pada bidang U dan garis k me-
nembus bidang U dan V.
Lukiskan bidang yang melalui garis k
dan titik A.
Perhatikan bahwa, garis m dan n berpo-
tongan. Garis m menembus bidang U dan V. Garis n menembus bidang U.
Lukiskan bidang yang melalui garis m dan n.
Pada gambar di samping, garis m dan n keduanya menembus bidang U dan V.
Tunjukkan bahwa garis m dan n tersebut bersilangan.
Garis m terletak pada bidang U.
Titik A terletak pada bidang V.
Lukiskan bidang yang melalui garis m dan titik A.
Garis m pada bidang U, garis n pada bi-dang V, garis k memotong garis m dan menembus bidang V di D.
Lukiskan garis t yang sejajar k dan memo-tong garis m dan n.
3. Perhatikan gambar di samping.
Titik A pada bidang U dan garis k me-nembus bidang U dan V.
Lukiskan bidang yang melalui garis k dan titik A.
4. Perhatikan bahwa, garis m dan n berpo-
tongan. Garis m menembus bidang U dan V. Garis n menembus bidang U.
Lukiskan bidang yang melalui garis m dan n.
5. Pada gambar di samping, Garis m dan n
keduanya menembus bidang U dan V.
Tunjukkan bahwa garis m dan n bersi-
langan.
6. Garis m terletak pada bidang U.
Titik A terletak pada bidang V.
Lukiskan bidang yang melalui garis m
dan titik A.
7. Perhatikan gambar di samping ini.
Garis m pada bidang U, garis n pada bi-
dang V dan garis k memotong garis m
dan menembus bidang V di D.
Lukiskan garis t yang sejajar dengan k
dan memotong garis m dan n.
KEDUDUKAN TITIK, GARIS DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG
Alat Peraga yang Disarankan :
1. Benda-benda di sekitar kita, yang berupa benda ruang.
2. Bangun ruang berupa kerangka kubus, balok, limas, dan sebagainya.
3. Model bangun ruang dari karton berupa kubus, balok, limas, dan sebagainya.
4. Buku-buku tipis sebagai model bidang dan pensil-pensil sebagai model garis.
A. Pengantar
Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita jumpai benda-benda ruang seperti berikut ini.
Benda-benda konkret seperti tersebut di atas, merupakan model dari bangun abstrak geometri seperti berikut ini.
Di kalangan para siswa, ternyata mengabstraksikan benda ruang yang konkret menjadi sebuah bangun ruang yang abstrak memiliki tingkat kesukaran yang tinggi. Proses ini sangat memerlukan daya abstraksi yang tinggi dan nalar yang memadai dari para siswa, bahkan dari guru itu sendiri. Karena itu sangat disarankan agar guru benar-benar memanfaatkan penggunaan alat peraga.
Dalam geometri terdapat beberapa pengertian pangkal yang harus sudah dipahami. Pengertian pangkal tersebut antara lain pengertian tentang titik, garis, dan bidang. Garis yang dimaksud di sini adalah garis lurus, dan bidang yang dimaksud di sini adalah bidang datar.
B. Kedudukan Titik-titik di Dalam Ruang
1. Empat buah titik yang berbeda biasanya tidak terletak dalam satu bidang. Kapankah empat buah titik terletak dalam satu bidang? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Perhatikan gambar (1)
Titik-titik P, Q dan R terletak pada bidang ; sedangkan titik S tidak terletak pada bidang .
Pada gambar (2), P, Q dan R terletak pada bidang . . .( ). . . sedangkan titik S tidak terletak pada bidang . ( ). . . .
Titik P, S dan R terletak pada bidang . . .( ) . . . . ., tetapi titik . . (S). . . . tidak terletak pada bidang .
2. Tiga buah titik yang berbeda, biasanya tidak terletak pada satu garis.
Kapankah tiga buah titik terletak dalam satu garis? . . .(jika terletak sejajar) . . . . ...............................................................
Titik P dan Q terletak pada garis a. Titik R di luar garis a.
C. Kedudukan Dua Buah Garis
1. Pada gb. 4, garis a dan b sejajar, a dan b sebidang, dan tak ada titik persekutuan antara a dan b.
2. Pada gb. 5, garis a dan b berpotongan, a dan b sebidang, antara garis a dan b memiliki satu titik persekutuan.
3. Pada gb. 6, garis a dan b bersilangan, a dan b tidak sebidang, garis a dan b tidak memiliki titik persekutuan.
Contoh :
ABCD. EFGH suatu kubus.
Isilah dengan sejajar, berpotongan, atau bersilangan.
(1) AE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GC
(2) AG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
(3) BF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DH
(4) ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BG
(5) DE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CF
Gb. (7) (6) BH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . BF
(7) HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DB
(8) AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . HG
(9) CE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
(10) EG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . AC
Perhatikan aksioma dan teorema berikut ini.
Aksioma 1
Melalui dua buah titik hanya dapat dilukis sebuah garis saja.
Aksioma 2
Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai 2 titik persekutuan, maka garis tersebut terletak seluruhnya pada bidang tersebut.
Aksioma 3
Tiga buah titik yang tidak segaris selalu dapat dilalui oleh sebuah bidang.
Teorema 1
Sebuah bidang ditentukan oleh 3 titik yang tidak segaris.
Teorema 2
Sebuah bidang ditentukan oleh sebuah garis dan sebuah titik di luar garis itu.
Teorema 3
Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis yang berpotongan.
Teorema 4
Sebuah bidang ditentukan oleh dua buah garis yang sejajar.
D. Kedudukan Dua Buah Bidang
Gb. (8) Gb. (9)
1. Lihat gb. 8. 2. Lihat gb. 9.
Sejajar Berpotongan
Tak ada garis persekutuan Ada satu garis persekutuan
antara bidang-bidang dan antara bidang-bidang dan
Contoh :
1) Diketahui kubus ABCD. EFGH.
Isilah dengan kata sejajar atau berpotongan.
(1) Bidang ABCD . . . . bidang DCFE
(2) Bidang EFGH . . . . bidang ABCD
(3) Bidang ACGE . . . . bidang BDHF
(4) Bidang ADHE . . . . bidang BCGF
(5) Bidang AFH . . . . bidang FGH
(6) Bidang AEH . . . . bidang BFG
Gb. (10)
2) Sebuah garis dapat diperpanjang, begitu juga sebuah bidang juga dapat di .......................
3) Untuk melukis garis persekutuan (garis potong) antara dua buah bidang, diperlukan dua buah titik persekutuan. Garis hubung antara dua titik persekutuan tersebut, merupakan garis potong yang dicari.
Gb. (11) Gb. (12) Gb. (13)
a) Gambar 11 : Garis potong antara bidang BCHE dan ADGF adalah . . . . .
b) Gambar 12 : Garis potong antara bidang BDE dan AFH adalah . . . . .
c) Gambar 13 : Garis potong antara bidang BDE dan CDEF adalah . . . . .
4) TPQRS suatu limas sisi empat.
A adalah suatu titik persekutuan antara bidang ARS dan bidang TPS.
(a) Jika bidang ARS diperluas, tentukan titik persekutuannya dengan TQ.
(b) Tentukan garis potong antara bidang ARS dan TPQ
(c) Tentukan garis potong antara bidang ARS dan TQR
Gb. (14)
Jawab :
(a) Titik persekutuannya adalah . . . .
(b) Garis potong antara bidang ARS dan TPQ adalah . . . .
(c) Garis potong antara bidang ARS dan TQR adalah . . . .
Catatan : RS, SA dan kedua garis potong pada soal (b) dan (c) membentuk penampang (irisan) bidang ARS dengan limas yaitu bidang ........
E. Kedudukan Garis terhadap Bidang.
Gb. (15) Gb. (16) Gb. (17)
1. Garis a sejajar bidang jika garis a dan bidang tidak mempu-nyai titik persekutuan (Gb. 15) 2. Garis a memotong bidang jika garis a dan bidang hanya mempunyai satu titik persekutuan (Gb. 16) 3. Garis a terletak pada bidang (atau bidang melalui garis a) jika garis a dan bidang mempu-nyai titik persekutuan lebih dari sebuah
Contoh :
ABCD. EFGH suatu kubus.
Isilah dengan sejajar, terletak atau memotong, sehingga kalimat di bawah ini benar.
(1) Garis EG ............. bidang ABCD
(2) Garis BG ............. bidang ADHE
(3) Garis HF ............. bidang BDG
(4) Garis AE ............. bidang CDFE
(5) Garis AC ............. bidang ADHE
(6) Garis BG ............. bidang ABGH
(7) Garis EG ............. bidang BDHF
(8) Garis BE ............. bidang CDHG
(9) Garis CF ............. bidang EFGH
(10) Garis DF ............. bidang ACGE
Latihan:
1. Diketahui titik A dan B pada bidang V. Titik C pada bidang W.
Lukiskan bidang H yang melalui titik A, B, dan C.
2. Diketahui garis a pada bidang V. Titik P pada bidang W.
Lukiskan bidang yang melalui garis a dan titik P.
3. Diketahui titik T pada bidang V, garis a menembus bidang-bidang H dan V.
Lukiskan bidang yang melalui garis a dan titik T.
4. Garis-garis a dan b berpotongan, a menembus bidang-bidang H dan V, b menembus bidang V.
Lukiskan bidang melalui a dan b.
5. Garis a menembus bidang-bidang H dan V, garis b menembus bidang-bidang H dan V.
Tunjukkan bahwa garis a dan b bersilangan.
6. Titik T pada bidang V, garis a pada bidang H.
Lukiskan bidang melalui garis a dan titik T.
7. Garis a pada bidang H, garis b pada bidang V, garis c memotong b dan menembus bidang H di titik A.
Lukiskan garis x yang sejajar dengan c dan memotong a dan b.
8. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
P titik potong diagonal BG dan CF.
Ditanya :
a. Lukis garis x yang sejajar garis HP dan memotong garis DE dan BG.
b. Lukis garis y yang melalui titik P dan sejajar AG. Tentukan titik tembusnya dengan bidang ABFE.
9. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
P pertengahan AB
Q pertengahan CG
Ditanyakan :
a. Lukiskan garis-garis potong bidang ABQ dengan bidang-bidang sisi kubus.
b. Lukis garis x yang melalui B dan memotong garis-garis PQ dan DH.
10. Diketahui kubus ABCD.EFGH.
P pertengahan AE
Ditanyakan :
a. Tentukan titik potong garis x yang melalui P dan sejajar AG dengan bidang EFGH.
b. Tentukan titik potong garis PG dengan bidang-bidang BDHF dan BDE
BAB II
MELUKIS TITIK TEMBUS GARIS DENGAN BIDANG
Langkah melukis titik tembus garis dengan bidang
gb (19) gb (20) gb (21)
Ditentukan garis a dan bidang (gambar 19)
Bagaimana cara melukis titik potong garis a dan bidang .
Jawab :
Perhatikan gambar 20 dan gambar 21.
(1) Buat bidang bantu yang melalui a.
(2) Tentukan garis potong antara bidang bantu dengan bidang yaitu (,). Ingatlah, perlu dua titik persekutuan.
(3) Perpotongan a dengan (,) ialah titik tembus a dengan bidang (misalnya titik P).
Contoh :
Gb. (22) Gb. (23) Gb. (24)
Lihat gambar 22.
Tentukan titik potong EC dengan bidang BDHF, dengan bidang bantu ACGE. Dapatkah dipilih bidang bantu yang lain? . . . . .
Lihat gambar 23.
Tentukan titik potong garis AG dengan bidang BDE.
Pilih bidang bantu sendiri.
(Bidang bantu tersebut adalah . . . . . . . . . .)
Lihat gambar 24.
Tentukan titik potong PQ dengan bidang ACF.
Latihan
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.
a. Lukiskan titik tembus garis yang melalui C tegak lurus ke bidang BDG.
b. Hitung jarak titik C ke bidang BDG.
2. Diketahui limas tegak T. ABCD dengan bidang alas ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 4 cm, BC = 3 cm, dan TA = TB = TC = TD = 6,5 cm.
a. Tentukan titik tembus O, jika TO merupakan jarak titik puncak T ke bidang alas ABCD.
b. Hitung panjang AC.
c. Hitung panjang TO.
Catatan :
Jarak adalah garis hubung terpendek. Konsep tentang jarak atau kita pelajari lebih mendalam dalam BAB IV.
BAB III
SUDUT
A. Sudut antara Dua Garis
Sudut antara dua garis bersilangan a dan b sama dengan sudut antara a’ dan b yang berpotongan dengan ketentuan a’//a.
Atau :
Sudut antara dua garis bersilangan a dan b sama dengan sudut antara a’ dan b’ yang berpotongan dengan ketentuan a’//a dan b’//b.
Gambarnya sebagai berikut.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH.
Tentukan besar sudut antara garis-garis di bawah ini dengan jalan memindahkan salah satu garis itu sejajar dengan dirinya sendiri sehingga memotong garis yang lain.
Gb. (26)
(1) AD dan CG sama dengan AD dan DH, dan besarnya 90o
(2) CD dan EG sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(3) BF dan DE sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(4) BG dan AC sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(5) BC dan AG sama dengan ....... dan ........, yaitu ..........
(6) BG dan DE sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(7) BE dan AH sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(8) BE dan AC sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(9) ED dan AG sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
(10) AC dan DE sama dengan ....... dan ........, dan besarnya ..........
Catatan : Selanjutnya yang dimaksudkan dua garis tegak lurus, mungkin memotong tegak lurus atau menyilang tegak lurus.
B. Sudut antara Garis dan Bidang
Sudut antara sebuah garis dan sebuah bidang ialah sudut antara garis itu dengan proyeksinya pada bidang itu.
a1 = proyeksi a pada bidang .
Sudut antara a dan bidang adalah sudut antara a dan a1
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm.
1) Sudut antara AH dan bidang alas ABCD sama dengan sudut antara AH dan .......... = .........o
2) Bila = sudut antara DF dan bidang alas ABCD.
Sudut antara DF dan bidang alas ABCD sama dengan sudut antara DF dan ........
tg =
3) Bila = sudut antara DE dan bidang ABCD. Sudut antara DE dan bidang alas ABCD sama dengan sudut antara DE dan .........
tg = Jadi = ..... = ..... .
C. Sudut antara Dua Buah Bidang
Sudut antara dua buah bidang dan , ialah sudut antara dua garis a dan b, a pada bidang ........, b pada bidang ........ dan masing-masing tegak lurus garis potong (,) di satu titik.
a pada bidang ....... dan a (,) di P.
b pada bidang ....... dan b (,) di P.
Sudut antara dan (misalnya ) adalah sudut antara a dan b.
Contoh :
(i) Tunjukkan sudut antara :
1) bidang CDFE dab ABCD,
2) bidang BDE dan bidang ABCD,
3) bidang BDHF dan bidang ACGE.
Jawab :
1) Sudut antara bidang CDFE dan ABCD sama dengan sudut antara garis ....... dan ....... = .........
(ii) 2) Sudut antara bidang BDE dan ABCD sama dengan sudut antara garis ....... dan ....... = .........
(iii) 3) Sudut antara bidang BDHF dan ACGE sama dengan sudut antara garis ....... dan ....... = .........
Gb. (30)
BAB IV
GARIS TEGAK LURUS BIDANG DAN JARAK
A. Garis Tegak Lurus Bidang
Sebuah garis yang tegak lurus pada dua garis yang berpotongan yang terletak pada suatu bidang, akan tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang itu.
Selanjutnya, garis itu disebut tegak lurus pada bidang itu.
Misalnya :
Gambar beberapa kemungkinan letak k, a dan b.
K memotong tegal lurus a dan b. K memotong tegak lurus a dan k menyilang tegak lurus b. K menyilang tegak lurus a dan b
Contoh :
Ditentukan ABCD.EFGH suatu kubus.
Tunjukkan bahwa AG BD.
..... dan ..... berpotongan dan terletak pada bidang ..............
BD bidang ............
Jadi BD tegak lurus dengan setiap garis yang terletak pada bidang ............
AG terletak pada bidang ............
AG BD
B. Jarak
1. Jarak antara dua titik
Jarak antara dua titik ialah panjang garis lurus antara dua titik itu.
2. Jarak antara titik dan garis
Jarak antara titik dan garis ialah panjang garis tegak lurus dari titik ke garis itu.
PP1 a
PP1 = jarak P ke garis a
Gb. (33)
3. Jarak antara dua garis sejajar
Jarak antara dua garis sejajar ialah jarak antara sebuah titik di garis yang satu ke garis yang lain.
a / / b
P di a; PP1 b
PP1 = jarak antara a dan b
4. Jarak antara titik dan sebuah bidang
Jarak antara titik dan sebuah bidang adalah panjang garis tegak lurus dari titik ke bidang itu.
PP1 bidang H
PP1= jarak P ke bidang H
Gb. (35)
5. Jarak antara garis dan bidang (garis itu sejajar bidang)
Jarak antara garis dan bidang ialah jarak antara suatu titik di garis itu ke bidang itu.
garis a / / bidang H
P pada garis a
PP1 bidang H
PP1 = jarak a ke bidang H
Gb. (36)
6. Jarak antara dua bidang sejajar
Jarak antara dua bidang sejajar ialah jarak antara titik pada bidang yang satu ke bidang yang lain.
Bidang U sejajar bidang V
P pada U, PP1 bidang V
PP1 = jarak antara bidang U dan V
Gb. (37)
7. Jarak antara dua garis bersilang
Jarak antara dua garis a dan b yang bersilang ialah jarak antara garis a dengan bidang H yang melalui b dan sejajar a.
H melalui b dan H sejajar a.
Jarak a ke b = jarak a ke bidang H
Gb. (38)
Catatan :
Jika PQ a dan PQ b, maka PQ disebut garis tegak lurus persekutuan antara a dan b.
= jarak antara a dan b yang bersilangan.
Gb (39)
Contoh :
Penerapan
1) Jika panjang rusuk-rusuk ABCD.EFGH sama dengan a, tentukan
a) panjang diagonal sisi AC
b) panjang diagonal ruang EC
c) Jarak E ke garis BG
Jawab :
a) Panjang diagonal sisi AC =
b) Perhatikan ACE yang siku-siku di A
EC2 = AC2 + AE2 = ...... 2 + ...... 2
EC = ............
c) Jika kita perhatikan EBG maka sehitiga itu sama .......... sehingga garis tinggi dari E sama dengan garis berat. Jadi jarak E ke BG sama dengan jarak E ke titik ............. BG.
Jika P pertengahan BG, maka segitiga EPG siku-siku di ..........
EP2 = ...... 2 - ...... 2 = ...... 2 - ...... 2
EP = ................ = ................ , Jadi jarak E ke garis BG = ...........
2) ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk-rusuk a.
Tentukan jarak P ke bidang BDHF.
Jawab :
Garis dari P bidang BDHF akan sejajar dengan garis dari E ke ...... atau dari A ke ...........
Tentukan titik potong garis P / / EG dengan bidang BDHF (dengan bidang bantu ACGE).
Jarak P ke bidang BDHF = ½ EG = ....
BAB V
PENAMPANG IRISAN
A. Pengertian
1. Irisan antara bidang dan bangun ruang adalah suatu bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis potong bidang itu dengan bidang-bidang sisi dari bangun ruang, sehingga irisan itu membagi bangun ruang menjadi dua bagian.
2. Sumbu afinitas (garis dasar atau garis koliniasi) adalah garis potong antara bidang irisan dengan bidang alas bangun ruang yang diirisnya. Sumbu afinitas terletak pada bidang irisan dan bidang alas.
Contoh :
1. Misal kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 4 cm. Titik K pada AE sehingga AK = KE, titik L pada BF sehingga BL = ¼ BF. Lukiskan irisan antara kubus dengan bidang yang melalui titik-titik H, K, dan L.
Langkahnya :
- Lukis sumbu afinitas ......., dengan P adalah titik potong antara garis HK dan ........, titik Q adalah titik potong antara garis KL dan garis ........
- Garis potong bidang yang melalui titik-titik H, K, dan L dengan bidang-bidang sisi kubus adalah ........, ........, ........, .........
- Jadi, irisan antara kubus dengan bidang yang melalui titik-titik H, K, dan L adalah bidang HKLM.
2. Pada limas T.ABCD, titik-titik K, L, dan M terletak pada bidang-bidang TDA, TAB, dan TBC. Bidang melalui titik-titik K, L, dan M. Gambarlah irisan limas T.ABCD dengan bidang .
Keterangan gambar :
........................................................................................................................................................................................................................................................................................
Latihan
1. Pada prisma ABCD.EFGH titik-titik K dan L terletak pada bidang-bidang sisi tegak ABFE dan BCGF, titik M terletak pada bidang atas EFGH. Bidang melalui titik-titik K, L, dan M. Gambarlah irisan prisma itu dengan bidang .
2. Gambarlah irisan limas T.ABCD dengan bidang jika bidang melalui titik-titik K, L, dan M.
3. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Titik-titik K, L, dan M berturut-turut adalah titik pusat bidang-bidang sisi ABFE, BCGF, dan EFGH. Bidang melalui titik-titik K, L, dan M.
a. Lukiskan irisan kubus ABCD.EFGH dengan bidang .
b. Sebut nama bangun irisan itu, dan hitunglah luasnya.
BAB VI
LUAS DAN VOLUM BANGUN RUANG
Luas dan Volum/Isi Bangun Ruang
Luas = luas alas + luas atas + jumlah luas sisi-sisi tegak
Volum = tinggi x luas alas
Luas = luas alas + jumlah luas sisi-sisi tegak
Volum = 1/3 tinggi x luas alas
Luas tabung = luas alas + luas atas + luas bidang lengkung tabung
= .......... + ........... + ...........
= .................
Isi = tinggi x luas alas
= .......... + ..........
Luas kerucut
= luas bidang lengkung kerucut + luas alas
= .......... + ..........
Volum Kerucut
= 1/3 x tinggi x luas alas
= 1/3 x ......... x ...........
Catatan :
Bidang lengkung kerucut berupa juring lingkaran, jika = sudut pusat juring.
di mana r = jari-jari lingkaran alas kerucut
A = apothema (garis pelukis)
Sedangkan:
Volum kerucut terpancung =
Luas = luas alas + luas atas + jumlah luas sisi-sisinya
Volum limas terpancung
=
Perhatikan : rumus ini hanya berlaku pada limas segitiga
Luas = luas alas + luas atas + jumlah luas sisi-sisinya.
Volum = luas alas x 1/3 (jumlah rusuk tegak)
Luas bola = 4 R2
Isi bola =
Bola
Contoh :
Penerapan :
1) ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk 4 cm. P dan Q masing-masing tengah-tengah FG dan HG.
Tentukan volum limas terpancung BCD.PGQ.
Jawab :
Isi/volum limas terpancung = 1/3 tinggi x (luas alas + luas atas +
Tinggi = CG = .......... cm
Luas alas = Luas BCD = ............ cm2
Luas atas = Luas PGQ = ............ cm2
Jadi isi BCD.PGQ =
= ....... (..........) cm3
= ........... cm3
2) ABCD.EFGH suatu kubus dengan rusuk 8 cm. CQ = 6 cm. Bidang APQR//BD. Tentukan isi benda ABCD.PQR.
Jawab : Isi benda ABCD.PQR
Terdiri dari dua prisma sisi 3 tegak terpancung yaitu ABD.PR dan BCD.PQR.
Isi prisma sisi tiga tegak terpancung = luas alas x 1/3 (jumlah rusuk tegak)
Isi ABD.PR = L ABD x 1/3 (0 + BP + DR)
= ............ x 1/3 (0 + ...... + .......) cm3 = ....... cm3
Isi BCD.PQR = L BCD x 1/3 (BP + CQ + DR)
= ............ x 1/3 (...... + ...... + .......) cm3 = ....... cm3
Isi ABCD.PQR = ...... cm3 + ........ cm3 = ......... cm3
BAB VII
SOAL-SOAL PENGEMBANGAN
A. Irisan
1. Diketahui limas segienam T.ABCDEF. Titik P, Q, dan R berturut-turut terletak pada rusuk TA, bidang TAB, dan rusuk TE seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Lukislah irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan limas segienam T.ABCDEF.
Penyelesaian:
W perpotongan EF dan BA. Hubungkan TW.
Buat garis PQ, yang memotong TW di Z, memotong TB di ….. , dan memotong perpanjangan WB di ……
WE dan ZR berpotongan di …..
Sumbu afinitasnya adalah garis …..
Perpanjang garis BC dan ED yang memotong sumbu afinitas di ….. dan di …..
Jika telah diperoleh titik L dan M seperti tampak pada gambar di atas, maka bidang yang dimaksudkan adalah
bidang ……….
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada pertengahan rusuk EH. Titik Q terletak pada pertengahan bidang ABFE dan titik R terletak pada rusuk BF, sehingga BR : BF = 1 : 4. Tentukan irisan bidang yang melalui titik P, Q, dan R dengan kubus tersebut.
B. Garis Tegak Lurus Bidang
1. Dalam kubus ABCD.EFGH dengan AB = 8 cm, titik P, Q, R, dan S berturut-turut terletak pada pertengahan BC, CG, DH, dan AD. Tentukan jarak antara bidang ABGH dan PQRS.
Penyelesaian
BP = ….. BC = ….. x 8 = ….. cm.
sin PBP’ = sin 45 = PP’ = …..cm.
Jadi jarak antara ABGH dan PQRS adalah ….. cm.
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH, dengan panjang rusuk 48 cm. Tentukan jarak titik E ke bidang BDG.
C. Sudut antara Garis dengan Bidang
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm. Titik M perte-ngahan bidang ABCD. Tentukan:
a. Tangen dari sudut antara garis EC dan bidang ABCD.
b. Tangen dari sudut antara garis FM dan bidang ABCD.
Penyelesaian
a. = sudut antara garis ….. dan bidang …..
AC = ….. cm
Dalam ECA, tan =
b. = sudut antara garis ….. dan bidang …….
BD = AC = ….. ...cm dan BM = ….. ...cm.
Dalam FBM, tan =
Gambar:
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB = 12 cm. Titik M terletak pada perpotongan diagonal bidang alas. Tentukan nilai tangen dari sudut antara garis MH dan bidang ADHE serta garis BH dan bidang ADHE.
D. Volume
1. The diagonals EG and HF of the cube ABCD.EFGH meet at the point T. Find ratio in volume of the pyramid T. ABCD to the cube.
TM = a = altitude of pyramid T.ABCD.
Volume of pyramid T.ABCD : volume of cube =
= …. : ….
2. If is volume of the largest cone inscribed a cylinder of volume , then find the value of : .
: =
= …. : ….
3. In the cube ABCD.EFGH, find the ratio in volume of pyramid E.ABCD to the volume of cube.
4. In the cube ABCD.EFGH of edge 1 cm, the edge DH is extended to be DN, where HN = cm. The line BN intersect the plane EFGH at the point M. Find the length of NM.
---000---
Daftar Pustaka
Amin Suyitno. 2001. Meningkatkan Kemampuan Mahasiswa untuk Belajar Mandiri Melalui Model Pembelajaran Problem Posing dalam Mata Kuliah Geometri. Laporan Penelitian Tindakan Kelas. Semarang: PGSM – UNNES.
Husein Tampomas. 1999. Matematika SMU Kelas 3. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Joesoef. 1982. Geometri Ruang. Surabaya: IPIEMS.
Kadaruslan. 1990. Geometri Ruang. Semarang: FMIPA IKIP Semarang.
Oetjoep Ilman, dkk. 1967. Ilmu Ukur Ruang. Jakarta: Widjaja.
BAB VIII
BUMI SEBAGAI BOLA
A. Bumi sebagai Bola, Garis Lintang dan Garis Bujur
Bumi kita mirip sekali dengan sebuah bola. Untuk membuat model matematika dari bumi kita, kita mengambil garis tengah US melalui kutub Utara dan kutub Selatan sebagai sumbu pusatnya. Jika O titik tengah US, dan OP tegak lurus US, maka tempat kedudukan P adalah khatulistiwa.
Irisan lingkaran yang tegak lurus pada US disebut Garis Lintang atau lingkaran paralel.
Lingkaran paralel (garis lintang) yang pusatnya berimpit dengan pusat bumi disebut khatulistiwa yang mempunyai besar sudut lintang 0.
Sedangkan besar sudut lintang yang paling besar adalah 90 Utara dan 90 selatan dari khatulistiwa.
Pada gambar terlihat bahwa titik P terletak pada khatulistiwa. Titik A mempunyai garis lintang ....... Utara (..... lintang Utara) dan titik B mempunyai garis lintang ..... Selatan (..... lintang Selatan)
Irisan lingkaran yang bergaris tengah US disebut garis bujur atau meridian. Meridian yang melalui kota Greenwich disebut meridian Greenwich yang mempunyai besar sudut 0.
Kota Greenwich kira-kira terletak 51 lintang Utara.
Besar sudut bujur paling besar 180 ke arah Timur atau 180 ke arah Barat Greenwich.
Pada gambar jika G adalah Greenwich dan POD = 48; POA = 30.
Maka : Titik C terletak pada ..... lintang Utara dan ...... bujur ......
Titik D terletak pada ..... lintang Utara dan ...... bujur ......
Titik A terletak pada khatulistiwa dan ...... bujur ......
Letak diametral
Jika kota A dan B merupakan titik-titik ujung dari garis tengah bumi, maka letak A dan B disebut diametral.
Penduduk A dan B disebut penduduk yang bertentangan kaki.
Jadi jika A suatu tempat di 35 LS dan 40 BB, maka B adalah suatu tempat di .......... dan ...........
Jari-jari lingkaran paralel dan jarak sepanjang lingkaran paralel
Jika titik A terletak pada posisi garis lintang 60 dan garis bujur 12 T, sedangkan posisi titik B adalah garis lintang 60 U dan garis bujur 18 B. P adalah pusat lingkaran paralel yang melalui titik A dan B, jari-jari bumi R = 6400 km.
Tentukan :
a) besar APB
b) jari-jari lingkaran paralel yang melalui A dan B (= AP)
c) panjang busur AB
d) jika pesawat udara terbang sepanjang setengah lingkaran paralel pada garis lintang 60 U, hitunglah jarak terbang pesawat tadi (panjang busur ABT).
e) Jika pesawat itu juga terbang dari A ke T lewat Kutub Utara, hitunglah jarak terbang pesawat tadi (panjang busur AUT)
f) Mana yang lebih pendek, terbang pada busur ABT atau terbang pada busur AUT.
Jawab :
a) Karena posisi A pada garis bujur ...... dan posisi titik B pada garis bujur ..... maka busur AB = ........
Jadi APB = ......
b) Lingkaran meridian UAQS kita gambarkan sebagai berikut.
Lihat OAP
OA = R = 6400 km
cos 60 =
c) panjang busur AB = Keliling lingkaran meridian
= ....... 2 .......
= ...................... km
d) panjang busur AB = Keliling lingkaran paralel ABT
= 2 ..........
= ...................... km
e) AOT = 2 . AOP = 2 . ...... = ......
panjang busur AUT = Keliling lingkaran paralel ABT
= ....... . 2 . 6400 km
= ...................... km
f) Jadi yang lebih pendek terbang pada busur ........
Daftar Pustaka
Amin Suyitno. 2001. Meningkatkan Kemampuan Mahasiswa untuk Belajar Mandiri melalui Model Pembelajaran Problem Posing dalam Mata Kuliah Geometri. Laporan Penelitian Tindakan Kelas. Semarang : PGSM – UNNES
Joesoef. 1982. Geometri Ruang. Surabaya : IPIEMS
Kadaruslan. 1990. Geometri Ruang. Semarang : FPMIPA IKIP Semarang.
Oetjoep Ilman, dkk, 1967. Ilmu Ukur Ruang. Jakarta : Widjaja.
Suparyan. 1998. Analisis Tingkat Kemampuan Ruang Para Guru Semarang Tengah dalam Mengajarkan Pokok Bahasan Geometri. Laporan Penelitian. Semarang : IKIP Semarang.
INTERACTIVE HANDOUT
GEOMETRI RUANG
(DIMENSI TIGA)
(Dengan Pendekatan Inquiry-based Learning)
Dipakai untuk
Mahasiswa S1 Pendidikan Matematika
Transfer
Oleh
Drs. Amin Suyitno, M.Pd
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2007
INTERACTIVE HANDOUT
GEOMETRI RUANG
(DIMENSI TIGA)
(Dengan Pendekatan Inquiry-based Learning)
Dipakai untuk
Mahasiswa S1 Tadris Matematika
Fakultas Tarbiyah
Oleh
Drs. Amin Suyitno, M.Pd
Mujiasih, S.Pd, M.Pd
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI WALISONGO
2007
BAB I
TITIK, GARIS, DAN BIDANG DALAM BANGUN RUANG
A. Pendahuluan
Semua objek matematika adalah abstrak. Begitu pula dengan titik, garis, dan bidang. Titik, garis, dan bidang termasuk undefined terms. Salah satu bangun ruang yang cukup kita kenal adalah kubus. Kubus dibatasi oleh 6 buah bidang datar berbentuk persegi yang kongruen. Karena itu, kubus juga disebut sebagai bidang enam beraturan atau hexaeder.
Keenam bidang yang membatasi bangun ruang tersebut (dalam hal ini kubus) disebut bidang sisi atau sisi. Perpotongan sisi membentuk garis. Garis yang merupakan batas sisi disebut rusuk. Perpotongan rusuk-rusuk disebut titik sudut.
Di sekitar kita, terdapat benda-benda ruang yang konkret, yang bentuknya dapat berupa balok, kubus, prisma, kerucut, tabung, limas, atau bola. Contohnya adalah kaleng susu, dadu, almari, dan sebagainya.
Sekarang, jawablah pertanyaan berikut.
Berapakah banyaknya sisi, rusuk dan titik sudut pada bangun ruang berikut ini?
a. Balok e. Tabung
b. Kubus f. Bola
c. Limas Segitiga g. Limas Segiempat
d. Kerucut h. Prisma Segitiga.
Perhatikan gambar di samping.
Titik A pada bidang U dan garis k me-
nembus bidang U dan V.
Lukiskan bidang yang melalui garis k
dan titik A.
Perhatikan bahwa, garis m dan n berpo-
tongan. Garis m menembus bidang U dan V. Garis n menembus bidang U.
Lukiskan bidang yang melalui garis m dan n.
Pada gambar di samping, garis m dan n keduanya menembus bidang U dan V.
Tunjukkan bahwa garis m dan n tersebut bersilangan.
Garis m terletak pada bidang U.
Titik A terletak pada bidang V.
Lukiskan bidang yang melalui garis m dan titik A.
Garis m pada bidang U, garis n pada bi-dang V, garis k memotong garis m dan menembus bidang V di D.
Lukiskan garis t yang sejajar k dan memo-tong garis m dan n.
3. Perhatikan gambar di samping.
Titik A pada bidang U dan garis k me-nembus bidang U dan V.
Lukiskan bidang yang melalui garis k dan titik A.
4. Perhatikan bahwa, garis m dan n berpo-
tongan. Garis m menembus bidang U dan V. Garis n menembus bidang U.
Lukiskan bidang yang melalui garis m dan n.
5. Pada gambar di samping, Garis m dan n
keduanya menembus bidang U dan V.
Tunjukkan bahwa garis m dan n bersi-
langan.
6. Garis m terletak pada bidang U.
Titik A terletak pada bidang V.
Lukiskan bidang yang melalui garis m
dan titik A.
7. Perhatikan gambar di samping ini.
Garis m pada bidang U, garis n pada bi-
dang V dan garis k memotong garis m
dan menembus bidang V di D.
Lukiskan garis t yang sejajar dengan k
dan memotong garis m dan n.
Senin, 04 April 2011
nabi muhammad
“HISTORICAL EVENTS OF MAKKAH”
Author by Imtiaz Ahmad M. Sc., M. Phil. (London)
Translated by Ir. Gusti Noor Barliandjaja
HIJRAH KE MADINAH
Ada beberapa peristiwa penting yang terjadi sebelum hijrah ke Madinah.
1. Dari generasi ke generasi, masyarakat Yahudi di Madinah dengan penuh harapan selalu menantikan Nabi Muhammad (SAW). Mereka ini selalu mengatakan kepada suku Aus dan Khazrij yang berkuasa di Madinah, “Jika Nabi Muhammad (SAW) telah datang maka dengan pertolongannya kami akan meruntuhkan kekuasaan kalian.”
2. Didalam musim haji tahun ke-sebelas Nabawi (kenabian), enam orang suku Khazrij menjumpai Rasulullah (SAW) dan memeluk Islam. Dengan jalan ini mereka berharap dapat menghukum orang-orang Yahudi dengan pertolongan dari beliau (SAW).Tahun berikutnya, bertambah lagi tujuh orang Madinah memeluk Islam. Rasulullah (SAW) mengutus Musaab bin Umair sebagai duta yang pertama sekaligus juru dakwah Islam.
3. Dalam tahun ke-13 Nabawi, 75 orang dari Madinah mengundang Nabi (SAW) untuk datang ke Madinah dan memberikan jaminan perlindungan terhadap beliau (SAW) dalam keadaan yang bagaimanapun juga.
4. Lebih jauh lagi, selain jaminan keamanan, diantara Nabi (SAW) dengan para tamu dari Madinah itu pun terjadi hal terpenting dalam sejarah, dimana ummat Muslim mendapatkan ‘tanah-kelahiran’ baru untuk memulai pengembangan masyarakat Muslim disana. Maka Rasulullah (SAW) pun memberikan ijin hijrah ke Madinah kepada ummat Muslim.
PENGORBANAN TERBESAR
Seorang Arab hanya dapat dikenali melalui ikatan kesukuannya. Jika ikatannya terputus maka ia pun menjadi ‘orang-hilang’ yang tanpa makna sekecil apapun. Siapa saja bisa membunuh si ‘orang-hilang’ itu tanpa harus mempertanggung-jawabkan perbuatannya. Berhijrah berarti juga memutuskan diri dari ikatan kesukuan yang dimilikinya. Inilah pengorbanan terbesar yang telah dipilih oleh Nabi Muhammad (SAW) dan para pengikutnya, karena siapapun tidak perlu merasa takut untuk membunuh mereka.
Mereka melakukan pengorbanan sejauh itu hanya dan hanya demi untuk melaksanakan keIslaman mereka.
Suku Quraisy di Makkah amat sangat geram mengetahui orang-orang Muslim bersama dengan suku-suku berkuasa di Madinah. Maka mereka berbuat segala cara untuk menimpakan penderitaan kepada orang-orang Muslim atas hijrah mereka itu. Salah satu contoh, sebagaimana diriwayatkan Ibnu Ishaq, Abu Salamah (RA) mencoba untuk hijrah dari Makkah ke Madinah bersama istri dan seorang anak mereka. Maka para iparnya pun mengambil istrinya secara paksa, sedangkan keluarganya sendiri juga melarikan anaknya. Maka ia pun berhijrah seorang diri. Sang Istri menangis berhari-hari karena dipisahkan dari suami dan anaknya. Berselang setahun kemudian seorang dari suku si istri menaruh iba kepadanya dan membantunya mendapatkan ijin hijrah ke Madinah bagi istri dan anak Abu Salamah (RA).
Ibnu Hisyam meriwayatkan bahwa ketika Suhaib (RA) berusaha hijrah, Orang Quraisy berkata kepadanya, “Ketika dulu kamu datang kemari, kamu sangat miskin dan tak dipandang sebelah mata. Kini kamu kaya raya. Kami tak kan relakan kamu pergi membawa kekayaanmu.” Suhaib (RA) menjawab, “Jika kuberikan semua kekayaanku kepada kalian, akankah kalian relakan aku pergi?" Mereka menyetujui. Suhaib (RA) menyerahkan semua hartanya kepada mereka dan berhijrahlah ia ke Madinah. Mengetahui hal ini Rasulullah (SAW) berkata, “Suhaib telah melakukan pertukaran yang menguntungkan dirinya. Sungguh, Suhaib benar-benar telah melakukan pertukaran yang menguntungkan dirinya.”
Semua muhajirin mengalami hal-hal serupa itu. Meskipun harus menghadapi hal sedemikian, hampir semua Muslim memilih berhijrah ke Madinah. Orang Quraisy begitu marah melihat kenyataan ini. Pada suatu malam, mereka menempatkan pasukan yang beranggotakan perwakilan masing-masing suku; satu suku mengutus satu orang; di sekeliling rumah Rasulullah (SAW). Mereka bahu-membahu untuk melakukan pembunuhan terhadap beliau ketika keluar rumah di pagi hari. Dengan cara demikian maka suku darimana Nabi SAW berasal takkan dapat menuntut balas terhadap semua suku yang terlibat.
Perhatikan Surah Al-Anfal, ayat 30 berikut ini:
Dan (ingatlah), ketika orang-orang kafir (Quraisy) memikirkan daya upaya terhadapmu untuk menangkap dan memenjarakanmu atau membunuhmu, atau mengusirmu. Mereka memikirkan tipu daya dan Allah menggagalkan tipu daya itu. Dan Allah sebaik-baik pembalas tipu-daya.
Allah (SWT) memberitahu Rasulullah (SAW) perihal rencana jahat mereka. Beliau (SAW) kemudian menyampaikan kepada Ali (RA), “Tidurlah kamu di tempat tidurku dan berhijrahlah ke Madinah setelah kamu selesaikan pengembalian seluruh harta-benda (deposit) yang telah diamanahkan/dititipkan oleh orang-orang didalam rumahku.”
Beberapa Catatan Penting:
1. Bagaimanapun kebencian mereka, musuh-musuh yang haus darah itu paham betul bahwa Muhammad (SAW) adalah seorang yang amat dapat dipercaya. Maka mereka biasa menitipkan barang-barang berharga yang mereka miliki kepada beliau (SAW) demi alasan keamanan.
2. Sebelum Rasulullah (SAW) berhijrah, beliau memastikan terlebih dahulu bahwa barang-barang berharga titipan musuh-musuhnya, dalam keadaan bagaimanapun juga, harus dikembalikan kepada mereka.
3. Ali (RA) merasa yakin bahwa ia akan tetap selamat dan sanggup melaksanakan pesan yang sulit itu sebab yang menugaskannya adalah Rasulullah (SAW).
4. Nabi Muhammad (SAW) menhargai bakat yang dimiliki oleh Ali (RA) walaupun ketika itu Ali (RA) masih muda belia.
SEBUAH MUKJIZAT
Rasulullah (SAW) pergi meninggalkan rumah beliau pada malam hari dengan berjalan-kaki melewat musuh-musuh yang mengepung rumah beliau, sambil membaca ayat ke-9 dari Surah Yaa-Siin:
Dan Kami adakan di hadapan mereka dinding dan di belakang mereka dinding (pula), dan Kami tutup (mata) mereka sehingga mereka tidak dapat melihat.
Maka Allah (SWT) pun menghalangi penglihatan mereka sehingga mereka tak dapat melihat Rasulullah (SAW) meskipun beliau sempat menaburkan debu keatas kepala setiap anggota pasukan yang mengepung di sekitar rumah beliau.
PERJALANAN HIJRAH RASULULLAH (SAW)
Dari rumah beliau; Rasulullah (SAW) pergi menuju rumah Abu Bakar (RA) dan kemudian mereka berdua melompat keluar melalui jendela belakang rumah dan melarikan diri di kegelapan malam sebagaimana telah direncanakan. Berdua saja mereka menempuh jarak lebih-kurang 7.5 Km menuju sebuah goa yang dikenal dengan sebutan “Goa Tsur”.
Orang-orang kafir amat sangat marah karena ternyata adalah Ali (RA) yang berada di tempat tidur Nabi Muhammad (SAW), maka pencarian dan pengejaran secara besar-besaran terhadap Rasulullah (SAW) pun mereka lakukan. Mereka mengumumkan sayembara berhadiah 100 ekor onta bagi siapa saja yang dapat menyerahkan kepala Nabi (SAW).
SATU MUKJIZAT LAGI
Sepasukan orang kafir telah sampai di depan goa Tsur. Mereka mendapati adanya sarang laba-laba di mulut goa. Mereka pun berkesimpulan bahwa Rasulullah (SAW) tidak masuk kedalam goa, sebab jika beliau (SAW) memasuki goa maka tentu sarang laba-laba itu telah rusak. Sekelompok yang lain, juga sampai di mulut goa itu dan mendapati sebuah sarang burung lengkap dengan beberapa butir telur burung yang berada tepat di mulut goa Tsur. Mereka pun berkesimpulan bahwa Rasulullah (SAW) tidak pernah masuk kedalam goa ini, sebab jika hal itu terjadi maka tentulah jaring laba-laba dan sarang burung itu sudah tidak lagi berada pada tempatnya.
Perhatikanlah hal ini; musuh sebenarnya hanya kira-kira satu meter dari beliau (SAW), namun Allah (SWT) melindungi Nabi-Nya dengan ciptaan-Nya yang paling rapuh; yakni sebuah jaring laba-laba.
Setiap kali, Abu Bakar (RA) berujar, “Jika saja musuh kita membungkukkan badan, mereka pasti dapat melihat kita.” Rasulullah pun menjawab, “Janganlah cemas, pertolongan Allah (SWT) menyertai kita.”.
Surah At-Taubah , ayat-40:
Jikalau kamu tidak menolongnya (Muhammad) maka sesungguhnya Allah telah menolongnya (yaitu) ketika orang-orang kafir (musyrikin Mekah) mengeluarkannya (dari Mekah) sedang dia salah seorang dari dua orang ketika keduanya berada dalam gua, di waktu dia berkata kepada temannya: “Janganlah kamu berduka-cita, sesungguhnya Allah beserta kita.” Maka Allah menurunkan ketenangan-Nya kepada (Muhammad) dan membantunya dengan tentara yang kamu tidak melihatnya, dan Allah menjadikan seruan orang-orang kafir itulah yang rendah. Dan kalimat Allah itulah yang tinggi. Allah Maha Perkasa lagi Maha Bijaksana.
Maka hanya atas Kasih-sayang Allah (SWT) sajalah mereka berdua bisa bersikap tenang didalam keadaan yang sedemikian genting, dan Allah pun menolong mereka berdua dengan pasukan-Nya yang tak terlihat oleh mata manusia.
DI DALAM GOA TSUR
Rasullah (SAW) dan Abu Bakar (RA) tinggal di dalam goa Tsur pada hari Jum’at, Sabtu, dan Ahad. Selama itu, berlangsung pertolongan bagi mereka berdua.
1. Abdullah bin Abu Bakar (RA) mendatangi goa pada malam hari dan menyampaikan berita perihal berbagai rencana dan kegiatan orang-orang kafir kepada mereka berdua. Sebelum fajar ia sudah kembali ke Makkah sehingga seolah-olah ia selalu berada di Makkah.
2. Amar bin Fuhairah menggiring domba-domba gembalaannya ke dalam goa pada malam hari sehingga Rasulullah (SAW) dan Abu Bakar (RA) bisa minum susu domba hingga cukup kenyang. Amar menggiring kembali domba-dombanya ke Makkah sebelum fajar selang beberapa waktu setelah Abdullah bin Abu Bakar kembali ke Makkah, dengan demikian jejak kaki Abdullah terhapus oleh jejak domba-domba itu.
3. Abdullah bin Ariqat Laitsi, seorang kafir yang dapat dipercaya dan bekerja sebagai pemandu yang diupah oleh Abu Bakar (RA) datang ke goa ini, setelah hari ke-tiga, membawa dua ekor onta.
4. Pada waktu itu Abu Bakar (RA) menawarkan satu dari onta itu kepada Nabi (SAW) sebagai hadiah. Namun beliau (SAW) memaksa membeli onta itu. Abu Bakar (RA) pun akhirnya bersedia menerima pembayaran sebesar empat ratus dirham untuk onta itu. Onta inilah yang kemudian dikenal sebagai onta Rasulullah (SAW) yang dinamai Quswa.
5. Dengan dipandu oleh Abdullah bin Ariqat, mereka berdua memulai perjalanan menuju Madinah. Amar juga menyertai perjalanan mereka.
MUKJIZAT BERIKUTNYA
Selama menempuh perjalanan dari makkah ke Madinah rombongan mereka lewat di dekat kemah Ummu Maabad. Mereka pun bertanya, “Adakah kamu memiliki sesuatu yang boleh kami makan atau minum?” Ia menjawab, “Maaf, sudah tidak ada sama sekali. Bahkan domba-domba kami pun sedang digembalakan jauh dari sini oleh suami saya.” Rasulullah (SAW) melihat seokor domba berada di dekat kemah, maka beliau pun bertanya, “Bagaimana dengan domba ini?” Ummu Maabad berkata, “Domba ini sangat lemah, tidak ada susu padanya setetes pun.” Nabi (SAW) bertanya, “Bolehkah aku coba memerah susunya?” Ia pun mempersilahkan, “Cobalah, sekiranya bisa mendapatkan susu darinya.”
Kemudian beliau (SAW) mengelus domba itu seraya memanjatkan doa dan mulai memerah susu domba itu dan ditampung dalam sebuah wadah. Ummu Maabad pun diberi minum susu domba itu hingga puas. Begitu juga dengan mereka yang menyertai beliau, mereka pun minum hingga puas.
Sekali lagi beliau memerah susu domba itu sepenuh wadah dan meninggalkannya untuk Ummu Maabad. Manakala suami Ummu Maabad kembali ke kemahnya, ia pun terperanjat melihat ada sediaan susu. Diceritakanlah kepada sang suami bahwa seorang yang sangat mulia akhlaqnya baru saja mengunjunginya. Ia gambarkan juga ciri-ciri tamunya itu. Sang suami berkata, “Ciri-cirinya serupa benar dengan seseorang yang sedang dicari-cari oleh orang-orang Quraisy. Semoga saja aku dapat menjadi sahabatnya.” (Zadul Ma'ad).
Adapun rombongan Rasulullah (SAW) melanjutkan perjalanan menuju Madinah. Suraqah bin Malik mengejar mereka dengan menunggang kuda dan berharap dapat menangkap dan menyerahkan Nabi (SAW) kepada kaum Quraisy agar dapat memenangkan hadiah seratus ekor onta. Namun, begitu ia telah begitu dekat dengan rombongan itu, kuda yang ditungganginya terjatuh. Entah bagaimana, kaki kuda itu terbenam kedalam pasir. Ia telah mengupayakan empat hal dengan hasil yang sama. Suraqah menyadari bahwa ia telah berusaha menangkap Rasulullah (SAW). Ia berjalan menghampiri Nabi (SAW) dan menyampaikan maksud jahat dengan kehadirannya disitu. Suraqah memohon agar Rasulullah (SAW) memaafkan dirinya beserta semua warga sukunya, dan juga memohon agar beliau (SAW) tidak menuntut balas terhadap mereka kelak pada waktu menaklukan kaum Quraisy. Rasulullah (SAW) dengan sangat bijaksana meluluskan permintaan Suraqah. Kelak kemudian, Suraqah pun memeluk Islam. (Zadul Ma’ad).
Buraidah Aslami, seorang kepala suku, juga ikut melakukan pengejaran dan pencarian terhadap Rasulullah (SAW) demi memenangi sayembara berhadiah yang diadakan oleh kaum Quraisy. Ia telah mengetahui posisi rombongan Nabi (SAW) dan iapun mendekat dan berbicara kepada beliau (SAW), namun pada akhirnya beliaupun dapat menundukkan hati Buraidah, sehingga Buraidah berikut tujuh-puluh orang lelaki warganya pun memeluk Islam, diantaranya langsung pada saat itu dan ada juga yang kemudian. Ia kibarkan bendera putih yang terbuat dari sorbannya dan kembali pulang ke Makkah sambil mengumumkan dengan suara keras bahwa, Rasulullah; sang raja perdamaian dan keadilan; sedang dalam perjalanan. (dari kitab Rahmatul-‘Alamin oleh Mohammad Sulaiman).
TIBA DI QUBA’
Penduduk Madinah dan suku-suku di sekitarnya telah berhari-hari menantikan kedatangan Rasulullah (SAW), mereka duduk berkelompok di sekitar tempat tinggal mereka. Manakala telah tengah hari dimana terik matahari sudah tak tertahankan, mereka kembali masuk ke dalam rumah masing-masing. Di suatu siang, seorang Yahudi sedang mendaki sebuah bukit kecil bermaksud mencari sesuatu yang bisa berguna. Ia melihat Nabi (SAW) beserta para sahabat beliau dalam pakaian putih-putih sedang berjalan mendekati Quba’. Maka, dengan suara lantang ia umumkan hal ini kepada orang-orang Arab.
Ummat Muslim Quba’ pun bergegas keluar rumah berhiaskan pedang di tangan, penuh keriangan menyambut kehadiran Nabi Muhammad (SAW). Abu Bakar (RA) menjabat tangan dengan mereka satu-persatu, Nabi (SAW) duduk beristirahat. Pada waktu bersamaan, sinar matahari jatuh tepat ke wajah Rasulullah (SAW). Abu Bakar (RA) pun segera memayungkan selembar kain alas keatas Nabi (SAW) untuk melindungi beliau dari sengatan sinar matahari. Dengan demikan mengertilah mereka bahwa itulah Rasulullah (SAW). (Bukhari).
Maka saat itu juga orang-orang Yahudi menjadi saksi atas terpenuhinya janji Allah (SWT) didalam kitab suci mereka, dimana disebutkan didalamnya bahwa datangnya dari arah selatan, dan Sang Quddus (insan suci) itu berasal dari pegunungan Faran.
Selang beberapa hari kemudian, Nabi (SAW) mendirikan masjid di Quba sebagaimana disebutkan didalam Al-Qur’an. Beliau (SAW) dan seluruh sahabat terlibat langsung dalam pembangunan masjid ini. Semua Muslim adalah setara dan mereka semua sangat antusias untuk memperoleh balasan dari Allah (SWT). Setelah bermalam beberapa hari, Rasulullah (SAW) dan para sahabat melanjutkan perjalanan menuju Madinah pada hari Jum’at dan melaksanakan Shalat Jum’at di sebuah lahan di lingkungan suku Banu Salim Bin Auf. Sampai sekarang masih dapat kita saksikan sebuah masjid tegak berdiri di tempat itu, masjid itu dinamakan Masjid Jum’ah.
TIBA DI MADINAH
Setiba Rasulullah (SAW) di Madinah, onta beliau (Quswa) duduk di lahan terbuka di dekat rumah Abu Ayyub Ansari (RA). Maka beliau (SAW) pun menetap di tempat itu sampai terselesaikannya pendirian Masjid Nabawi dan sebuah tempat berteduh untuk beliau. Seluruh sahabat bersama-sama Nabi (SAW) juga secara langsung turun tangan dalam pembangunan Masjid Nabawi, sebagaimana juga mereka melakukan bersama-sama dalam pembangunan Masjid Quba’.
Beberapa hari kemudian, istri Nabi (SAW); Saudah (RA); dua putri beliau Fatimah (RA) and Ummu Kulsum (RA), Usamah bin Zaid (RA), ‘Aisyah (RA) dan Ummu Aiman (RA) juga menyusul hijrah ke Madinah dibawah kawalan Abdullah bin Abu Bakar (RA). Adapun putri beliau seorang lagi, Zainab (RA), baru diijinkan hijrah ke Madinah setelah terjadi peperangan Badar.
Di Madinah, Rasulullah (SAW) memanjatkan doa (yang artinya) sebagai berikut, “Wahai Allah, jadikanlah kami mencintai Madinah sebagaimana kami mencintai Makkah, atau bahkan lebih dari itu. Kami mohon, jadikanlah iklimnya menyehatkan bagi kami. Tambahkanlah keberkahan didalam takaran (shaq dan mud) kami, dan pindahkanlah panasnya Madinah hingga ke Juhfah.” Allah (SWT) mengabulkan doa beliau dan beliaupun menetap di Madinah karena begitu cintanya beliau terhadap kota ini. (Bukhari).
ARTI PENTING HIJRAH
Hijrah telah membawa akibat-akibat yang lebih jauh:
1. Dari peristiwa ini, terjadi perubahan sosial. Islam sebagai sebuah kelompok/golongan didalam masyarakat telah berkembang menjadi sebuah kesatuan Ummat Islam. Maka sirnalah diskriminasi atas dasar warna kulit, kredo, ataupun kekayaan. Semua Muslim setara/egaliter.
2. Menurut para ahli sejarah Muslim, Rasulullah (SAW) tiba di Quba‘ pada tanggal 16 Juli 632 M. yang mana berada dalam bulan Muharram, dari sinilah dimulainya perhitungan kalender Hijriyah.
3. Adalah di Madinah, diletakkan dasar-dasar khilafah (pemerintahan) Islam. Peristiwa bersejarah berupa perjanjian-perjanjian yang dibuat bersama dengan kelompok Yahudi dan beberapa suku yang lain menjadi panduan bagi generasi-generasi yang kemudian.
4. Diantara sekian banyak sahabat Nabi (SAW), beliau memilih Abu Bakar (RA) sebagai teman dalam perjalanan hijrah. Hal ini di abadikan didalam Al-Quran, Surah At-Taubah. Ini merupakan penghargaan paling utama bagi Abu Bakar (RA).
5. Setiap orang yang berpola-pikir adil dan terbuka, dari tulisan ini dapat mengambil kesimpulan bahwa Abu Bakar (RA) telah memiliki peranan yang amat penting dalam peristiwa Hijrah. Maka sungguh amat menyedihkan bahwasanya sebagian orang masih menilai secara tidak adil terhadap diri sahabat yang demikian dihormati ini.
Mengapa Blogger?
Alasan saya merekomendasikan Blogger adalah sebagai berikut:- Gratis, semua orang suka dengan yang berbau tidak berbayar alias tidak mengeluarkan sepeser-pun uang.
- On The Fly, blog yang kamu bikin langsung akan jadi sesaat setelah kamu membuatnya tanpa menunggu lama.
- Mendukung Bahasa Indonesia, sangat tepat bagi kita yang kurang menguasasi Bahasa Inggris.
- Cepat dan Mudah, hanya dengan 3 langkah blog kamu sudah dapat langsung online di jagad Internet.
- Banyak Tema, Blogger memiliki banyak sekali desain blog yang bisa langsung kamu gunakan sesuai dengan keinginan kamu.
- Kaya Fitur, Blogger sangat kaya fasilitas pendukung aktivitas ngeBlog sepeti buku tamu, statistik pengunjung bahkan sesuai dengan tujuan kita adalah untuk mendayagunakan blog menjadi sumber penghasilan online.
Sebuah account Google akan dapat digunakan diberbagai produk dan layanan Google lainnya seperti GMail, Google Talk, Google Earth, Google AdSense, Google AdWords, Google Webmaster Tools, Google Analytics, Picasa, Orkut dan masih banyak lainnya.Beberapa hal penting yang perlu diperhatikan adalah gunakan penamaan yang tepat yang mempresentasikan diri kamu secara benar. Jangan pernah membuat account Google dengan informasi palsu, samaran ataupun fiktif. Isilah form secara benar dan tidak perlu khawatir bahwa Google akan menyebarkan informasi pribadi kamu ke khalayak ramai, Google berjanji tidak akan berbagi informasi mengenai diri kamu kepada orang lain yang tidak berhak mengetahuinya.
Sebuah account Google dapat digunakan untuk membuat banyak blog, dengan kata lain cukup satu account pada Google dengan banyak halaman blog yang memiliki alamat penamaan berbeda.
Jika kamu sudah Login, lanjutkan dengan klik Ciptakan Sebuah Blog dan berikanlah nama untuk blog kamu. Pada bagian ini adalah yang sangat penting, jangan memilih nama yang asal, pilihlah penamaan yang mewakili dari isi blog kamu. Misalnya kamu mau ngeBlog mengenai pariwisata Indonesia, pilihlah nama dengan bijak. Jangan gunakan penamaan yang jauh dari apa isi blog kamu sebenarnya.
Hal Penting Penamaan
Jika kamu serius ingin ngeBlog tentang sesuatu yang berorientasi pada uang saran saya jangan gunakan nama kamu sebagai penamaan. Gunakanlah sebuah objek isi blog kamu. Dengan demikian kamu akan lebih mudah dikenali oleh pembaca bahwa blog kamu berisikan tentang sesuatu yang unik atau khusus. Alasan lain adalah dikarenakan kamu menggunakan sebuah layanan blog gratis yang telah memiliki penamaan yang dominan yaitu Blogger, dimana sudah digunakan oleh banyak orang untuk media blog. Alamat penamaan kamu akan menjadi sebuah subdomain dari domain utamanya yaitu blogspot.com.
Dalam contoh saya akan ciptakan sebuah blog yang berhubungan dengan hobi fotografi. Saya memasukkan “Hobi Fotografi” sebagai judul blog dan “fotografi” sebagai alamatnya. Oppss, ternyata alamat “fotografi.blogspot.com” telah digunakan orang lain. Jangan memaksa! kamu tidak dapat menggunakan alamat tersebut, lihatlah di bagian bawah Blogger merekomendasikan penamaan blog kamu. Saya memilih “hobifotografi.blogspot.com”.
Desain Blog
Selanjutnya adalah menentukan desain blog kamu inginnya seperti apa. Blogger telah membuat beberapa template atau tema yang bisa langsung dipilih. Belum cocok dengan pilihan yang ada? silakan pilih terlebih dahulu sebuah template, nantinya kita dapat mengubahnya.
Wow… selamat! kamu sudah memiliki sebuah blog dengan judul Hobi Fotografi beralamat di http://hobifotografi.blogspot.com. Mulailah NgeBlog saat ini juga, jika belum siap silakan kumpulkan terlebih dahulu bahan-bahan seperti foto, referensi tulisan, video dan lain sebagainya. Kapanpun kamu siap mulailah mengakses blog kamu pada alamat tersebut dengan cara menyimpannya menggunakan fasilitas Bookmark/Favorit pada Browser kesayangan kamu.
Pada tulisan lain saya akan menjelaskan lebih lanjut bagaimana cara mengatur beberapa hal yang penting untuk melengkapi tampilan blog kamu agar sesuai dengan keinginan.
Langganan:
Postingan (Atom)